§ 82. Нелинейно упругое тело.
Нелинейно упругим телом называется такое тело, у которого напряжения и деформации связаны нелинейными зависимостями:
Однако функции 
могут быть вполне произвольными. Свойство упругости означает, что энергия деформации тела в любом его состоянии определяется только величинами деформаций, соответствующих этому состоянию, и не зависит от того, каким способом производилось деформирование. Обозначим упругую энергию на единицу объема буквой а. Вследствие вышеизложенного это есть функция от 
Представим себе, что деформации увеличились, получив приращения 
Энергия получила при этом приращение 
причем с точностью до малых высшего порядка
С другой стороны, 
— это удлинения ребер единичного кубика (§ 49), на грани которого действовали силы 
следовательно, 
представляет собою работу этих сил:
Сравнивая (82.1) и (82.2), найдем:
Таким образом, функции 
должны быть производными от одной и той же функции 
по 
.
Дальнейшие ограничения будут вытекать из того, что для изотропного материала энергия должна выражаться симметричным образом через компоненты деформации.
Предположим, что зависимость между гидростатическим напряжением и относительным изменением объема линейна, следовательно, энергия изменения объема выражается формулой (50.9). Вводя объемный модуль упругости и заменяя 
через 
с помощью закона Гука для обычной деформации (79.2), получим:
Энергию изменения формы будем считать произвольной функцией октаэдрического сдвига 
. Таким образом,
Применим к выражению для энергии (82.4) формулы (82.3). Получим:
Заметим прежде всего, что 
. Вычислим теперь производную 
. Возведем в квадрат равенство (78.1):
Продифференцируем обе части по 
:
Таким образом, получается:
и аналогично для 
.
Сравнивая (82.5) и (79.4), мы убеждаемся, что если принять
то уравнения нелинейной упругости при частном выборе выражения упругой энергии в форме (82.4) совпадают с уравнениями деформационной теории пластичности. Разница между нелинейной теорией упругости и теорией пластичности состоит в том, что уравнения последней справедливы лишь при продолжающейся пластической деформации, разгрузка происходит по иному закону. Уравнения нелинейной упругости действительны как при нагрузке, так и при разгрузке.
