§ 132. Вычисление секториальных характеристик.

При вычислении секторнальных характеристик сечення, то есть величин

для профилей, составленных из прямоугольников, приходится вычислять интегралы от произведений двух функций вида

Если хотя бы одна из функций является линейной, то для нахождения этого интеграла можно применить следующий простой графоаналитический прием. Строим графики, или эпюры, функций пусть есть линейная функция (рис. 198).

Рис. 198.

Находим площадь Q эпюры и умножаем ее на ординату линейной эпюры, соответствующую абсциссе центра тяжести эпюры . Действительно, выбрав начало отсчета s в точке О, где линейная эпюра пересекает ось абсцисс, получим:

Здесь k — угловой коэффициент линейной эпюры. Но

Поэтому

Это замечание оказывается очень полезным для вычисления секториальных характеристик. Ход выкладок лучше всего пояснить на примерах.

Предварительно сделаем одно замечание. Находя величину для двутаврового профиля, мы встречаемся с особенностью, заключающейся в том, что профиль нельзя обойти от одного конца до другого. В случае таких составных профилей нужно придерживаться следующих правил;

1. Обход сечения производится от одной и той же точки, принятой за начало отсчета секториальиых площадей.

2. Секториальная площадь растет, если конец вектора, выходящего из полюса и вращающегося против часовой стрелки, движется в направлении обхода.

Примеры.

а) Двутавровое сечение (рис. 199).

Рис. 199.

Для двутаврового сечения центр изгиба будет в центре тяжести. Примем за начало отсчета секториальиых площадей точку А. Направление обхода отдельных элементов показано стрелками. На левой половине верхней полки конец радиуса-вектора, выходящего из точки С и вращающегося против часовой стрелки, движется по направлению стрелок, причем секториальная площадь, то есть удвоенная площадь заштрихованного треугольника, растет пропорционально расстоянию от точки А. Эпюра секториальиой площади изобразится треугольником с наибольшей ординатой На правой стороне полки получим такой же треугольник, только отрицательный. Аналогичную картину получим на нижней полке. Для нахождения нам следует вычислить интеграл

для каждой половины полки и результаты сложить. Применив графоаналитический прием, сообщенный выше, мы должны взять площадь треугольника и умножить ее на величину в точке, соответствующей центру тяжести, и результат учетверить:

б) Угловое сечение. Как уже отмечалось, центр изгиба такого сечения находится в вершине. Секториальная площадь для полюса, помещенного в центре изгиба, равна нулю, следовательно, . Этот же вывод справедлив для любого профиля, образованного прямолинейными тонкостенными элементами, сходящимися в одной точке, например для тавра. Такие стержни не обладают изгибно-крутильной жесткостью, сечения их при кручении не искажаются.

Рис. 200.

в) Швеллерное сечение (рис. 200). Центр изгиба для швеллера находится на расстоянии от стенки (см. § 128). Примем за начало отсчета секториальиых площадей середину швеллера. Двигаясь от середины вверх, мы вращаем радиус-вектор по часовой стрелке, то есть в отрицательном направлении, секториальная площадь отрицательна; она убывает по линейному закону, достигая значения в угловой точке. Движение по полке связано с положительным вращением радиуса-вектора, значит, секториальная площадь растет. Она равна нулю в точке, расстояние которой от угла есть основание треугольника с высотой и удвоенной площадью следовательно, это расстояние равно t. Максимальное значение и на конце полки есть . На нижней половине швеллера картина будет антисимметрична: эпюра та же, что вверху, но противоположных знаков. Условие как видно, выполняется, так как интеграл от есть общая площадь эпюры. Вычислим теперь . Применяя правило графоаналитического нахождения интегралов, получим:

Вывод общей формулы для не имеет смысла; следует сразу вести все вычисления в числах.

г) Зетовое сечение. Выберем вспомогательный полюс в центре тяжести и начало отсчета секториальиых площадей в точке пересечении стенки и полки. Получим эпюру, изображенную на рис. 201, а. Для нахождения центра изгиба нам нужно вычислить интегралы

где х и у — координаты относительно главных центральных осей сечения, изображенных на рис. 201, б.

Для х и у, рассматриваемых как функции s, можно также построить эпюры, они приведены на рис. 201, в, г. Существенно, что эпюры х и у антисимметричны. При нахождении интеграла

нам придется вычислять интеграл от произведения тех же функций с одинаковыми знаками на верхней полке, с разными — на нижней.

Рис. 201.

Поэтому

Аналогично

Следовательно, по формулам (128.3) центр тяжести зетового сечения является центром изгиба. Для эпюры секториальных площадей не выполняется условие .

Поэтому нужно изменить начало отсчета секториальных площадей. Прибавим к секториальной площади постоянную величину с таким образом, чтобы было

или

Отсюда

Эпюра главной секториальиой площади () представлена на рис. 201, д.

д) Труба с разрезом (рис. 202). Выбрав вспомогательный полюс в центре и рачало отсчета секториальиой площади при получим:

Рис. 202.

Вычисляем интеграл, входящий в первую из формул (128.3):

По формуле (128.3)

Перенесем полюс в центр изгиба. По формуле (128.2)

Осталось выбрать начало отсчета секториальиой площади так, чтобы было

Очевидно, что это условие будет выполнено, если принять за начало отсчета середину дуги, то есть заменить угол углом меняющимся от до

Вычислим теперь секториальный момент инерции: