156. Дифференциалы высших порядков.
Полный дифференциал 
функции от нескольких переменных есть в свою очередь функция тех же переменных, и мы можем определить полный дифференциал этой последней функции. Таким образом мы получим дифференциал второго порядка 
первоначальной функции 
, который также будет функцией тех же переменных, а его 
полный дифференциал приведет нас к дифференциалу третьего порядка 
первоначальной функции и т. д.
Рассмотрим подробнее случай функции 
двух переменных х и у и будем предполагать, что переменные х и у суть независимые переменные. По определению
При вычислении 
будем принимать во внимание, что дифференциалы 
независимых переменных надо рассматривать как величины постоянные, а потому их можно выносить за знак дифференциала
Вычисляя точно так же 
мы получим
Эти выражения 
приводят нас к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка:
причем формулу эту надо понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, надо возвысить в степень 
, применяя формулу бинома Ньютона, после чего показатели степеней у и надо считать указателями порядка производных по х и у от функции 
Мы убедились в справедливости формулы (13) при 
, равном 1, 2 и 3. Для полного ее доказательства необходимо применить обычный способ доказательства от 
к 
. Положим, что формула (13) справедлива при некотором 
. Определим дифференциал 
порядка:
где символом
мы обозначаем, вообще:
Принимая во внимание, что для 
формула (13) считается доказанной, можем написать
т. е. формула доказана и для 
и.
Формула (13) обобщается без труда и на случай функции любого числа независимых переменных. Формула (13) справедлива, как мы знаем [153], не только в том случае, когда 
и у суть независимые переменные. Но при выводе выражения 
существенным было считать 
величинами постоянными, и формула (13) справедлива лишь в тех случаях, когда 
могут считаться постоянными.
Это будет справедливо, если х и у суть независимые переменные. Положим теперь, что х и у суть линейные функции независимых переменных z и 
где коэффициенты и свободные члены — постоянные. Для 
получим выражения
Но 
как дифференциалы независимых переменных, должны считаться постоянными; то же можно сказать, следовательно, в этом случае и относительно 
мы можем поэтому утверждать, что символическая формула (13) справедлива как в случае, когда 
и у суть независимые переменные, так и в том случае, когда они суть линейные функции (целые многочлены первой степени) независимых переменных.
Если 
нельзя считать постоянными, то формула (13) уже не будет справедливой. Разберем выражение 
в этом общем случае. При вычислении
мы уже не имеем права выносить 
за знак дифференциала, как это делали выше, но должны применять формулу для дифференциала произведения [153].
Мы получим, таким образом,
Сумма первых двух слагаемых в правой части этого равенства даст нам выражение, которое мы имели выше для 
и окончательно получим
т. е. в рассматриваемом общем случае выражение для 
будет содержать добавочные слагаемые, зависящие от 
.
