9. Задача Коши.

Задача Коши для уравнения (59) формулируется так же, как и в случае линейного уравнения: требуется найти поверхность, проходящую через заданную кривую l. Рассмотрим сначала тот частый случай задачи, когда заданная кривая находится в плоскости параллельной плоскости , и имеет в этой плоскости явное уравнение т. е. положим, что требуется найти интегральную поверхность, удовлетворяющую следующему условию:

При рассмотрении задачи Коши мы, кроме доказательства существования и единственности решения, будем всегда доказывать и непрерывную в некотором смысле зависимость решения от начальных данных. Пусть решение задачи, для которой в условии заменено на . Указанная непрерывная зависимость в данном случае сводится к следующему: в некоторой конечной области изменения величина может быть сделана сколь угодно малой, если достаточно мала. Эта непрерывная зависимость от начальных данных обычно называется корректностью постановки задачи Коши. Будем считать, что уравнение (59) написано в разрешенном относительно виде:

Из условия Коши (81) непосредственно вытекает, что в качестве параметра мы можем взять переменную у, причем параметрическое уравнение кривой будет иметь вид: . Нам остается еще определить вдоль этой кривой и q как функции параметра у так, чтобы удовлетворялись два условия (80). В данном случае эти условия перепишутся в виде

откуда видно, что определяются вдоль единственным образом, и, применяя указанный в предыдущем параграфе метод, мы получаем решение задачи.

Для того чтобы выполнялись указанные в предыдущем номере условия, нам надо потребовать существование непрерывной производной второго порядка у функции Условия для вытекают из указанных в [8] условий для

Рассмотрим теперь более общее начальное данное, а именно, пусть требуется провести интегральную поверхность через кривую

Эта задача может быть сведена к предыдущей при помощи замены независимых переменных, а именно: вместо вводим новые независимые переменные по формулам

и выражаем производные по новым переменным через производные по прежним переменным:

откуда

и уравнение (59) в новых независимых переменных принимает вид

Линия (84) в новых переменных запишется в виде

т. е. мы имеем задачу Коши рассмотренного выше вида. Возможность ее решения сводится к вопросу о разрешимости уравнения (85) относительно

В случае, если кривая задана в параметрической форме:

мы должны будем определить функции из двух уравнений:

Функциональный определитель левых частей этих уравнений по

совпадает как раз с определителем (77) при что непосредственно вытекает из первых двух уравнений системы (68). Мы считаем, что определитель (77) отличен от нуля вдоль I и что система (86) дает вдоль вполне определенные значения для При этом можно применить указанный в предыдущем параграфе метод построения решения, причем надо заметить, что определитель (87) будет отличным от нуля не только при но и при 5, близких к нулю. Для того чтобы функции имели непрерывные производные первого порядка, нам надо потребовать существования непрерывных производных второго порядка у функций Это видно из второго уравнения (86).