47. Теоремы существования.

Нам осталось доказать теоремы, устанавливающие существование решения задачи Коши и задачи с характеристическими начальными данными. Мы начнем с последней задачи и будем рассматривать только случай однородного уравнения. Требуется найти решение уравнения (94), принимающее заданные значения на характеристиках :

Считая, что коэффициент b имеет непрерывную производную , мы можем переписать уравнение (94) в виде системы двух уравнений первого порядка:

где

причем для вновь введенной функции w мы получаем следующее начальное данное:

Рассматривая уравнение (97) как обыкновенное линейное дифференциальное уравнение и принимая во внимание первое из условий (96), мы получаем выражение функции через, функцию :

Созершенно так же уравнение (98) дает нам

Зти уравнения равносильны уравнениям (97) и (98) с начальными условиями (96). Вводя обозначения

можем переписать вышеуказанные уравнения в виде

Применение метода последовательных приближений с обычным рассуждением для установления сходимости дает доказательство существования и единственности решения последней системы. Для того чтобы можно было вернуться от уравнений (97) и (98) к (94), должна существовать непрерывная смешанная производная . Из уравнений (101), которым удовлетворяют непрерывные функции видно, что утверждение относительно имеет место, если имеет непрерывные частные производные первого порядка, a -непрерывную производную. Если подставим выражение из второго из уравнений (101) в первое, то получим для обычное уравнение Вольтерра с двухкратным интегралом.

Переходим к доказательству существования решения задачи Коши. Уравнение линии которая несет на себе данные Коши, может быть записано, как мы видели выше, в виде или где имеют непрерывные, не равные нулю, производные. Данные Коши на l мы можем считать функциями или независимого переменного или независимого переменного у. Напишем эти данные в виде

При интегрировании уравнений (97) и (98) мы должны принимать во внимание начальные данные

Таким образом мы, как и выше, получим следующую систему интегральных уравнений:

где определяются формулами (100). Доказательство сходимости метода последовательных приближений проводится для системы обычным образом, и таким образом можно получить теорему существования решения. Если точка Р расположена так, как это указано на рис. 1, то при интегрировании по , в оценках, длину пути интегрирования можно заменить на , а при интегрировании по на , где а в — наибольшие значения и у в том прямоугольнике со сторонами, параллельными осям, в котором мы рассматриваем решение задачи и где коэффициенты удовлетворяют поставленным выше условиям, например, непрерывны частные производные первого порядка у а и b и непрерывны х что нам было надо при проведении метода Римана. Мы могли бы рассматривать и неоднородное уравнение (84). Достаточно при этом в правой части уравнения (98) добавить свободный член Легка доказать единственность решения, и не прибегая к методу Римана, а пользуясь системой (102).

Можно было бы для доказательства теорем существования применить метод последовательных приближений непосредственно к самому уравнению (94), совершенно так же, как это мы делали для обыкновенных дифференциальных уравнений. Начнем со случая характеристических начальных данных (96). Уравнение (94) с начальными данными (96) равносильно интегродифференциальному уравнению

причем, в силу очевидного условия внеинтегральный член в написанном уравнении удовлетворяет начальным данным (96).

Мы можем в качестве первого приближения взять функцию

Остальные приближения вычисляются последовательно по формулам

Применяя элементарные оценки, можно показать, что последовательности функций

равномерно сходятся в прямоугольнике R, изображенном на рис. 1, причем мы считаем, что коэффициенты уравнения — непрерывные функции в этом прямоугольнике. Переходя в соотношении (104) к пределу, мы убедимся без труда в том, что предельная функция последовательности удовлетворяет уравнению (103) и, следовательно, удовлетворяет уравнению (94) и начальным данным (96).

Перейдем теперь к задаче Коши. Пусть R — прямоугольник, содержащий внутри себя часть кривой l, на которой заданы данные Коши, и такой, что в прямоугольнике R коэффициенты уравнения суть непрерывные функции. Пусть - некоторая точка внутри этого прямоугольника. Обозначим через криволинейный треугольник РАВ, ограниченный дугой АВ линии двумя прямыми РА и РВ, параллельными осям, выходящими из точки Начальные данные Коши мы можем записать в виде

Действительно, как мы уже упоминали выше, мы можем всегда считать, что начальные данные для их и выражены через х или у. Интегрируя эти функции, мы получим и начальное данное для и в указанном выше виде. Уравнение (94) с начальными данными (105) равносильно уравнению

В формуле (103) мы писали повторный интеграл с указанием пределов, и этой форме записи безразлично расположение точки относительно характеристик последней формуле мы пишем двойной интеграл и берем взаимное расположение точки, кривой и осей, указанное на рис. 1. В качестве первого приближения мы берем

и следующие приближения вычисляются по формулам

Совершенно так же, как и выше, при помощи элементарных оценок интегралов можно показать, что последовательность в прямоугольнике

равномерно стремится к предельной функции, которая и является решением задачи Коши.

Метод последовательных приближений применим и для нахождения шений задачи Коши для квазилинейных гиперболических уравнений. Для этого целесообразно исходную задачу Коши свести к задаче Коши с однородными начальными данными. Рассмотрим уравнение

Положим, что начальные данные Коши на кривой выражены через независимую переменную причем мы должны иметь Будем считать, что указанные выше функции имеют непрерывные производные. Составим вспомогательную функцию

которая, очевидно, имеет непрерывные производные и . Эта функция удовлетворяет на линии l требуемым начальным данным. Вводя вместо и новую искомую функцию: , мы получим для нее на линии l начальные данные Коши, равные нулю. Уравнение (106) для и порождает аналогичное уравнение для . Мы можем, таким образом, считать, что уравнения (106) имеем начальные данные Коши, равные нулю. Предполагается, что функция стоящая в правой части уравнения, имеет непрерывные производное первого порядка по всем своим аргументам для значений у достаточно близких к линии и для значений , достаточно» близких к нулю. Уравнение (106) с нулевыми начальными данными преобра зуется в уравнение

а к этому уравнению применим обычный метод последовательных приближений, если мы ограничимся значениями лежащими в некоторой окрестности линии . В качестве первого приближения мы должны взять и следующие приближения вычисляются по формулам

Заметим, что при применении метода последовательных приближений для линейного уравнения мы могли бы, конечно, рассматривать и неоднородное уравнение, и совершенно так же, как и выше для уравнения (94), мы могли бы привести начальные данные в задаче Коши или в задаче с характеристическими начальными данными к нулю. При этом исходное однородное уравнение уже стало бы неоднородным для преобразованной функции.