49. Метод Вольтерра.

Решение задачи Коши для уравнений второго порядка в том случае, когда число независимых переменных больше двух, представляет гораздо большие трудности. Для волнового уравнения, когда начальные условия заданы при мы дали явные формулы для решений задачи Коши Однако метод, с помощью которого они были получены, не переносится на более общие ситуации. В настоящем параграфе мы изложим другой метод решения задачи Коши для уравнений с постоянными коэффициентами. Этот метод, являющийся обобщением метода Римана, основан, как и последний, на своеобразном применении формулы Грина. Он дает решение задачи Коши при задании начальных условий не только на плоскости но и на некоторых нехарактеристических поверхностях. По своей основной идее он близок к методам, применимым и для уравнений с переменными коэффициентами.

Положим, что гиперповерхность S есть характеристическая гиперповерхность уравнения или , где f — заданная функция независимых переменных. Пусть есть уравнение этой гиперповерхности. Величины пропорциональны частным производным и, в силу (113), направляющие косинусы направления v пропорциональны величинам Написанные суммы представляют собой правые части уравнений бихарактеристик [41]:

образующих характеристическую гиперповерхность S, и мы можем утверждать, таким образом, что если S есть характеристическая гиперповерхность, то направление v на ней совпадает в каждой точке с направлением бихарактеристики, лежащей на S и проходящей через эту точку. Следовательно, в рассматриваемом случае направление v лежит в касательной плоскости к S. Направление v называют иногда направлением конормали на S. Выясним теперь значение формулы Грина (114) при решении задачи Коши. Пусть требуется найти решение уравнения

если заданы значения и и конормальной производной на некоторой поверхности . Мы считаем, что такова, что на ней направление v не находится в касательной плоскости. При этом задание и и на дает на и значение производной функции и по любому направлению. Для разыскания значения и в некоторой точке лежащей вне поступаем следующим образом. Проводим характеристический коноид уравнения (115) с вершиной и предположим, что половина этого коноида вместе с частью поверхности образует ограниченную область D пространства Затем к области D применяется формула Грина (114), причем за и мы берем искомое решение уравнения (115) и за v — некоторое сингулярное решение сопряженного уравнения Поверхность области D состоит из куска поверхности на котором и

Рис. 3.

и нам заданы, и из боковой поверхности Г характеристического коноида. На Г направление v совпадает с направлением касательной к бихарактеристике, лежащей на Г, и это дает возможность при интегрировании по Г произвести интегрирование по частям. Проведем этот метод для волнового уравнения

Характеристический коноид есть в данном случае круговой конус, у которого угол между образующей и высотой равен

Оператор есть симметричный оператор, формула (112) дает из формул (113) получаем

откуда видно, что направление v является зеркальным отражением направления в плоскости . Уравнение характеристического конуса с вершиной будет

Рис. 4.

Используем следующее решение уравнения

где

Берем ту половину конуса (117), которая обращена в сторону убывающих значений t. На боковой поверхности Г этого конуса и решение (118) обращается на этой поверхности в нуль. Дифференцирование по v на Г есть дифференцирование по направлению конормали на Г, т. е. по направлению образующей конуса и, следовательно, на Г мы имеем не только но решение (118) имеет особенность при т. е. прямая, проходящая через вершину конуса параллельно оси является особой линией решения (118). Выделим эту линию круговым цилиндром радиуса в. Оставшуюся часть области D обозначим через D. Граница этой области, кроме и Г, будет содержать также боковую поверхность указанного цилийдра (рис. 4). Пусть часть поверхности заключающаяся внутри упомянутого конуса, за вычетом того, что находится внутри цилиндра Применим теперь формулу

(114). Принимая во внимание, что и на получим

На поверхности направление v совпадает с направлением внешней нормали, т. е. противоположно направлению , считаемому от оси Обозначая через полярный угол в системе координат: получим

На мы имеем и, в силу (118), v будет порядка Так как при то мы можем утверждать, что интеграл (120) стремится к нулю вместе с е. Далее, мы имеем

причем радикал надо считать положительным. На

и при этот радикал стремится к ибо . Мы имеем, таким образом,

где t — значение получаемое в точке пересечения прямой с поверхностью . Таким образом, формула (119) дает и

где часть поверхности находящаяся внутри упомянутого выше конуса. Справа стоят данные величины, и, дифференцируя по мы получаем окончательный результат:

Мы получили эту формулу, предполагая, что решение задачи существует. Строго говоря, мы должны еще проверить, что правая часть удовлетворяет всем условиям задачи. Это требует большого труда так как при изменении меняется положение конуса (117). Если есть плоскость то решение было нами получено раньше. Указанный метод решения задачи Коши принадлежит Вольтерра. Его подробное изложение можно найти в книге: Вебстер А., Сеге Г. Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики, ч. 2. - ОНТИ, 1934, гл. 6.

С формулой Грина связан и другой метод решения задачи Коши, а именно метод Адамара. При применении этого метода берется решение уравнения , которое обращается в бесконечность на всей боковой поверхности характеристического коноида (конуса (117) в случае уравнения (116)). Это обстоятельство требует особых предосторожностей при применении формулы Грина и приводит, естественно, к особому новому понятию интеграла.

Для уравнений

особое решение Адамара имеет вид

Подробное изложение метода Адамара в применении к линейным уравнениям с переменными коэффициентами можно найти в его книге: Le probleme de Cauchy et les equations anx cterivees partielles lineaires hyperboliques. - Paris, 1932. Применение метода Адамара к уравнениям с постоянными коэффициентами изложено в книге: Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. II. — М.: Гостехиздат, 1951.