8. Метод Коши.

Мы выяснили связь системы (68) с уравнением (59). В частности, мы выяснили, что всякая интегральная поверхность представляет собой семейство характеристических полос, зависящее от одного параметра. Положим теперь, что мы сумели проинтегрировать систему (68) и тем самым нашли всевозможные характеристические полосы. Покажем, каким образом мы можем из этих характеристических полос строить интегральные поверхности уравнения (59). Будем считать, что решение системы (68) выражено через параметр s и начальные

данные функций, входящих в систему

Желая получить семейство характеристических полос, мы будем считать, что начальные данные мы взяли как функции некоторого параметра

причем эти функции должны удовлетворять соотношению (72). Мы считаем, кроме того, что они имеют непрерывные производные при что правые части уравнений (68) имеют непрерывные производные по в некоторой области, содержащей многообразие (74) внутри себя. Как мы видели в предыдущем номере, будет удовлетворено при любых значениях s и соотношение (71).

Подставляя функции (74) в правые части формул (73), мы получим

Уравнения (75) определяют в параметрической форме некоторую поверхность. Если определитель

отличен от нуля, что мы будем в дальнейшем считать, то совершенно так же, как и для линейного уравнения, мы сможем определить явное уравнение этой поверхности и . Уравнение (71), как мы видели выше, будет удовлетворено, но остается открытым вопрос, будут ли функции определяемые формулами (75), частными производными от функции по . Если это обстоятельство имеет место, то, дифференцируя функцию по , мы будем иметь

Поскольку определитель второго порядка, составленный из коэффициентов при и q, по условию, отличен от нуля, мы можем утверждать, что и наоборот, если и q, определяемые формулами (76), удовлетворяют соотношениям (78), то они являются частными производными от по х и у. Первое из соотношений

(78) непосредственно вытекает из первых трех уравнений системы (68). Остается только выяснить, при каких условиях будет выполнено второе из соотношений (78). Мы считаем, что имеет непрерывные производные до второго порядка в окрестности . При этом правые части уравнений (68) имеют непрерывные производные первого порядка, и из этих уравнений следует, что имеют непрерывные производные по т. е. существуют непрерывные производные При этом существуют и непрерывные производные равные указанным выше производным. Это следует из того, что если функция имеет в некоторой области непрерывную производную то имеется и производная причем . Эта теорема может быть доказана небольшим видоизменением рассуждения из [I; 155] (см., например, Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I. — М.: Наука, 1970).

Обозначая через L левую часть второго из уравнений (78) и дифференцируя по s, мы получим

С другой стороны, дифференцируя первое из соотношекй (78), которое, как мы только что видели, наверное выполнено, по t, будем иметь

Вычитая почленно последнее равенство из предыдущегр, можем записать в виде

или, пользуясь системой (68), в виде

Дифференцируя соотношение (71), которому удовлетворяют функции (76) и (76), мы получим

Вычитая это равенство из предыдущего, мы можем преобразовать выражение для — к виду

откуда следует, что

где — значение левой части второго из соотношений (78) при

Из написанной формулы непосредственно следует, что соотношение будет выполнено при всяком s, если оно выполнено при т. е. для того чтобы удовлетворялось второе из соотношений (78), необходимо и достаточно, чтобы функции (74) удовлетворяли соотношению

Мы можем, таким образом, утверждать, что если определитель отличен от нуля при и если функции (74) удовлетворяют соотношениям

то уравнения (75) при s и близких к определяют интегральную поверхность уравнения (59). Первые два из уравнений (75) дают непрерывно дифференцируемые функции . Подставляя их в получим непрерывно дифференцируемые функции х и у, которые мы, не желая вводить новые символы, обозначим через . В силу доказанного выше и потому имеет непрерывные производные второго порядка. Для полученного решения . При при t, близких к t, т. е. поверхность содержит некоторый участок линии