13. Полный, общий и особый интегралы.

В настоящем и следующем параграфах мы укажем другой метод интегрирования уравнения

и, в частности, решения задачи Коши. Он часто в конкретных примерах легко приводит к решению задачи. При изложении метода Коши мы выяснили условия его применимости и существования

и единственности решения задачи Коши. Сейчас мы будем иметь в виду, главным образом, формальную сторону вопроса и широко используем теорию огибающих семейства поверхностей, зависящего от одного или двух параметров.

При применении метода Коши для интегрирования уравнения (106) мы должны уметь проинтегрировать полностью соответствующую систему обыкновенных уравнений:

Мы покажем сейчас, что задача интегрирования уравнения (106) требует лишь знания решения этого уравнения, зависящего от двух произвольных постоянных. Пусть мы имеем такое решение:

где а и b — произвольные постоянные. Частные производные и q будут выражаться по формулам

и мы будем иметь, следовательно, следующее соотношение:

которое должно выполняться тождественно не только относительно но и относительно . Мы считаем, что из трех соотношений (108) и (109) могут быть исключены а и b и что это исключение приводит нас к уравнению (106). В этом случае решение (108) уравнения (106) будем называть полным интегралом данного уравнения. Нетрудно из полного интеграла уравнения получить и другие решения этого уравнения. Положим, что в формуле (108) постоянная b является некоторой функцией по стоянной а, т. е. . Таким путем мы придем к семейству интегральных поверхностей, зависящему от одного параметра:

Огибающая этого семейства, которая получается исключением а из уравнения (111) и уравнения

будет иметь вдоль линии касания с огибаемой поверхностью те же самые что и огибаемая, а потому эта огибающая будет также интегральной поверхностью уравнения (106). Совокупность всех такйх интегральных поверхностей при любом выборе дифференцируемой функции со (а) образует общий интеграл уравнения (106), Этот интеграл, как мы видим, содержит уже

произвольную функцию . Мы можем далее строить огибающую семейства интегральных поверхностей (108), зависящего от двух параметров а и b. Это приводит к исключению а и из уравнения (108) и уравнений

Полученная интегральная поверхность не содержит никаких произвольных элементов и называется обычно особым интегралом уравнения (106). Мы считаем при этом, конечно, что все указанные выше исключения возможны и приводят к функциям, имеющим непрерывные производные

Вместо указанных геометрических соображений мы можем получить общий и особый интегралы, пользуясь методом вариации произвольных постоянных. Будем искать решение уравнения (106) в виде (108), считая а и b искомыми функциями Частные производные функции и будут вычисляться уже не по формулам (109), а по следующим формулам:

Если мы подчиним искомые функции а и b двум соотношениям!

то выражения для частных производных останутся прежними, и функция (108) будет, как и раньше, давать интегральную поверхность. Все дело сводится к рассмотрению уравнений . Эти уравнения имеют очевидные решения: , что приводит нас опять к полному интегралу. Второе очевидное решение получается, если а и b удовлетворяют соот ношениям

Это приводит нас к особому интегралу. Если по крайней мере одно из этих равенств не выполняется, то определитель однородной относительно системы (114) должен обращаться в нуль:

Мы считаем при этом, что а и b не являются одновременно по стоянными. Равенство нулю этого функционального определителя приводит нас к соотношению между а и b [III; 18]. Положим, что это соотношение имеет вид При этом уравнения (114) приводятся к одному, которое может быть записано в виде

и мы получаем общий интеграл. Можно показать, что при некоторых условиях указанными выше решениями исчерпываются все решения уравнения (106). По существу дело сводится к тому, что, имея полный интеграл, мы можем решить задачу Коши.