53. Общий случай начальных данных.

Положим теперь, что начальные условия заданы не на плоскости а на какой-либо поверхности с уравнением

Будем решать задачу при Вместо гиперсферы рассмотрим поверхность

и предположим, что при всех положительных значениях разности достаточно близких к нулю, поверхность (152) есть замкнутая поверхность трехмерного пространства, содержащая точку внутри себя, причем часть пространства, которая заключается внутри этой поверхности, определяется неравенством

Применим теперь формулу (138), приняв за S поверхность (152). При этом 6 подынтегральной функции интеграла по S мы будем иметь

Покажем, что и выражается через начальные данные. Мы имеем

откуда

Вводя обозначение

мы получаем для уравнение, аналогичное (140):

Как и выше, оно может быть решено методом последовательных приближений и дает решение задачи Коши при условиях (151). Точное проведение всех доказательств требует наличия некоторого числа непрерывных частных производных у функций

Выясним связь поверхности (152) с теорией характеристик. Характеристический коноид уравнения (122) с вершиной имеет в четырехмерном пространстве уравнение

где текущие координаты, a t и параметры. Поверхность (152) представляет собою геометрическое место тех точек трехмерного пространства, которые имеют те же координаты , что и точки пересечения характеристического коноида (155) с поверхностью четырехмерного пространства, поверхность (152) есть проекция указанного пересечения в трехмерное пространство . Для наглядности представим себе, что все происходит в трехмерном пространстве Уравнению (155) соответствует обычная поверхность конического типа. Эта поверхность пересекается с поверхностью вдоль некоторой линии. Проекция этой линии на плоскость должна быть замкнутой линией которая и есть аналог поверхности (152). Проекция вершины коноида на плоскость должна попасть внутрь и трехмерный интеграл формулы (154) имеет своим аналогом двойной интеграл по части плоскости лежащей внутри Эта область зависит, конечно, от положения вершины

коноида. Если эта вершина приближается к некоторой точке на поверхности то линия должна стягиваться в точку . Совершенно аналогично замкнутая по верхность S должна стягиваться к точке если вершина ко ноида (155) стремится к некоторой точке на поверхности

Все эти геометрические свойства поверхности S, необходимые для строгого доказательства существования задачи Коши, связаны с тем, что касательная плоскость к поверхности не должна слишком отклоняться от плоскости Можно показать, что это условие может быть записано в виде

При этом существенно, что функция связана с уравнением (124). При соблюдении условия (156) говорят, что поверхность пространственно ориентирована. Для более общего уравнения гиперболического типа

где u — функция независимых переменных говорят, что поверхность - пространственно ориентирована в некоторой своей точке, если в этой точке выполняется неравенство

Описанные нами конструкции и формулы и их применения к решению задачи Коши для уравнения (122) были предложены в работах С. Л. Соболева (Тр. сейсмологического ин-та АН СССР, 1930, № 6 и 1934, № 42). Они были перенесены В. Г. Гоголадзе на более общие линейные уравнения гиперболического типа с четырьмя независимыми переменными (ДАН СССР, 1934, 1), Далее в работе С. Л. Соболева (Матем. сб., 1936, 1 (43), № 1, с. 39—72) указанный метод был распространен на общие линейные уравнения гиперболического типа с четным числом независимых переменных. В следующем параграфе мы укажем на те изменения, которые вносятся в изложенный метод для более общих уравнений, что и было сделано в работе В. Г. Гоголадзе, а потом изложим распространение метода на любое четное число независимых переменных лишь для волнового уравнения с постоянным коэффициентом