136. Единственность решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений.

Прежде чем переходить к указанному в заглавии вопросу докажем одно вспомогательное предложение, относящееся к матрицам.

Лемма. Пусть А и В — две квадратные вещественные симметричные матрицы, причем все характеристические числа А — положительны. Если при этом все характеристические числа В не положительны, то след произведения А В есть неположительное число: . Если же все характеристические числа В не отрицательны, то .

Пусть U — матрица ортогонального преобразования, приводящая В к диагональной форме, т. е. , где — характеристические числа матрицы В. Известно, что

и что вещественная симметричная матрица имеет те же характеристические числа, что и А. По

условию все они положительны, и тем самым квадратичная форма

определенно положительна. Полагая и остальные равными нулю, мы видим, что . С другой стороны,

и отсюда непосредственно следует, что если все 0, то а если все то и лемма доказана.

Отметим еще один факт, который нам будет нужен в дальнейшем. Пусть - вещественная непрерывная функция, определенная в некоторой области D пространства и имеющая в D непрерывные производные до. второго порядка. Положим, что в некоторой точке лежащей внутри функция имеет максимум. При этом вещественная симметричная форма

не может принимать положительных значений т. е. все характеристические числа вещественной симметричной матрицы не положительны. Точно так же в точке минимума они не отрицательны.

Рассмотрим линейное эллиптическое уравнение:

причем пусть и - непрерывные функции в некоторой конечной области D и квадратичная форма

определенно положительная в D. Отметим, что сумма

есть след произведения вещественных симметричных матриц причем мы считаем, что функция имеет непрерывные производные до второго порядка внутри D.

Единственность решения задачи Дирихле для уравнения (289) осно вана на следующей теореме.

Теорема. Если внутри то всякое решение однородного уравнения

не может иметь внутри D ни положительного максимума, ни отрицательного минимума.

Доказываем от обратного. Положим, что в некоторой точке внутри D функция имеет максимум . В такой точке все производные первого порядка должны быть равны нулю, и уравнение (291) дает

Из условия максимума следует, что все характеристические числа матриц не положительны, и, в силу доказанной выше леммы, левая часть равенства , а правая положительна, ибо по условию . Это противоречие и доказывает теорему. Невозможность отрицательного минимума доказывается аналогично или заменой и на .

Совершенно так же можно доказать, что если в неоднородном уравнении внутри то решение такого уравнения не может иметь внутри D положительного максимума, а если то оно не может иметь отрицательного минимума.

Из доказанной выше теоремы непосредственно следует, что если внутри то решение задачи Дирихле для уравнения (289) единственно. Действительно, пусть и - два решения уравнения (289) внутри непрерывные в замкнутой области D и удовлетворяющие на границе S области D одному и тому же граничному условию

При этом разность должна удовлетворять однородному уравнению и обращаться в нуль на S. Отсюда, в силу доказанной теоремы, следует, что в D Действительно, если бы это было не так, то должна была бы иметь внутри D положительные максимумы или отрицательные минимумы (или и то и другое), а по теореме этого не может быть. Можно доказать единственность решения задачи Дирихле, заменив предположение более слабым предположением, что внутри D. Введем для этого вместо функции о которой мы упоминали выше, новую функцию полагая

где числа а и мы определим ниже и притом так, что разность будет положительной в D. Подставляя (294) в уравнение получим для до уравнение вида

где как и непрерывны в и

и, в силу на S.

Принимая во внимание, что в D, мы можем выбрать число так, чтобы иметь в D неравенство а за тем выбираем настолько большое число а, что а в D. При этом в уравнении внутри D, и к функции равной нулю на S, применима доказанная теорема, откуда следует, что в D. Но тогда из (294) следует, что и

Предположение существенно для единственности решения задачи Дирихле. Нетрудно дать пример, когда при однородное уравнение имеет решение, равное нулю на границе S, но не равное нулю тождественно. В качестве такого примера приведем уравнение

и рассмотрим его в квадрате . Если взять k равным целому числу, то уравнение (297) имеет решение

равное нулю на границе указанного квадрата. Напомним, что вообще уравнение

имеет бесчисленное множество положительных собственных значений таких, что при к уравнение имеет решения, не равные тождественно нулю и обращающиеся в нуль на границе S заданной области.

Замечание. Пользуясь указанными выше результатами, можно получить некоторые оценки для решений задачи Дирихле. Укажем простейшие из них.

Пусть есть решение задачи

Мы считаем в О. Обозначим через наименьшее значение и через М наибольшее значение в

Введем функцию v, полагая , где k — некоторая постоянная. Мы имеем: так что является решением задачи

Положим сначала, что . При этом в D, и решения уравнения не могут иметь внутри D отрицательных минимумов. Но значения на S равны положительной постоянной, и отсюда следует, что не может быть отрицательной, т. е. или . Совершенно так же, полагая получим и . Окончательно можем утверждать, что решение задачи (299) (если оно существует) должно удовлетворять в D неравенству

Рассмотрим теперь задачу

и обозначим через N наибольшее значение на S Полагая опять приходим к задаче

Положим Поскольку мы считаем с <С 0 внутри D, функция v не может иметь внутри D отрицательных минимумов. Для граничных значений мы имеем очевидно Отсюда, как и следует, что

Совершенно аналогично, полагая получим т. е. для задачи (301): .