91. Асимптотическое выражение для собственных функций.

Имея асимптотическое выражение для собственных значений, мы можем получить и асимптотические выражения для собственных функций, пользуясь тем же самым методом, который мы применяли раньше при выводе асимптотических выражений полиномов Эрмита и Лежандра

При помощи указанного выше преобразования переменных мы можем привести наше уравнение к виду (116):

При больших значениях собственные значения будут, как мы знаем [78], положительными, и в дальнейшем мы будем

считать, что настолько велико, что . Пусть собственные функции, соответствующие собственным значениям . Мы можем написать:

и получим

Применим к интегралу, стоящему в правой части, неравенство Буняковского:

откуда следует, что при всяком t из промежутка причем мы приняли во внимание нормированность функций

Пусть собственная функция исходного уравнения (1), получаемая из при помощи преобразований (114) и (115). Из этих преобразований непосредственно следует

т. е. обычная нормировка равносильна нормировке с весом . Предельное условие дает нам и мы можем переписать формулу (124) в следующем виде:

где, в силу неравенства (125), функция остается ограниченной при всех целых положительных и всех t из промежутка , т. е. существует такое положительное число А, что

Возводя обе части (127) в квадрат, интегрируя по рсиовному промежутку и принимая во внимание нормированность функций

можем написать:

Первый из написанных интегралов вычисляется до конца, а остальные два, в силу условия (128), будут ограниченными по абсолютной величине при всех значениях . Таким образом получим

где остаются ограниченными по абсолютной величине при возрастании . Вынесем в правой части за скобки:

Если бы при возрастании мы встречались со сколь угодна большими значениями то при таких значениях выражение, стоящее в скобках, стремилось бы к пределу у, отличному от нуля, и произведение, стоящее в правой части последней формулы, не могло бы равняться единице. Отсюда мы можем заключить, что остается ограниченным при возрастании n. Принимая это во внимание, мы можем переписать формулу (129) в виде

где, как всегда, через мы обозначаем такую величину, что произведение остается ограниченным при беспредельном возрастании n. Мы можем переписать последнюю формулу следующим образом:

откуда вытекает:

Подставляя это в (127), получим

где

причем ограничена по абсолютной величине при всех и всех t из промежутка .

Из (121) вытекает:

откуда

где ограничена по абсолютной величине при всех и всех t из Подставляя это в (131), получим следующие асимптотические выражения для нормированных функций

Возвращаясь к старым переменным согласно (114) и (115), мы получим следующую асимптотическую формулу:

где собственные функции нормированы согласно (126) и , где ограничена по абсолютной величине при всех и всех из