109. Исследование интегральных уравнений.

Рассмотрим однородное уравнение:

Его исследование проводится совсем просто в случае выпуклой поверхности. При этом . Положим, что есть решение уравнения (135), отличное от нуля, и пусть есть та точка, в которой имеет наибольшее значение. Если не есть постоянная, то мы получим

или, в силу (26),

откуда Если в формуле (135) мы положим, что есть постоянная, отличная от нуля, то, пользуясь опять формулой (26), мы получим .

Таким образом, мы получаем:

Если S — выпуклая поверхность, то не есть собственное значение уравнения (135), а есть собственное значение с рангом единица, соответствующая собственная функция . Следовательно, мы можем утверждать, что для уравнения также не есть собственное значение, а есть собственное значение ранга единица.

Покажем теперь, что эти же результаты будут иметь место и для любой поверхности Ляпунова при причем мы используем результаты из основанные на возможности построения параллельных поверхностей. Будем исходить сейчас из уравнения (133) и рассмотрим соответствующее однородное уравнение при

Пусть непрерывное решение этого уравнения. Нам надо показать, что Потенциал простого слоя с плотностью нам функцию гармоническую в

и , непрерывную во всем пространстве, у которой предельные значения нормальной производной на равны нулю.

Последнее следует из того, что по условию удовлетворяет уравнению (136). К потенциалу простого слоя применима формула (94), из которой следует, что есть постоянная в . На бесконечности потенциал простого слоя равен нулю, и, следовательно, и, в частности, на S. При этом гармоническая функция и внутри S, т. е. во всем пространстве. Принимая во внимание (54), получим:

что и требовалось доказать. Таким образом, можем утверждать, что не есть собственное значение уравнений (132) и (133). Однородное уравнение (135) при имеет, в силу (26), решение, равное произвольной постоянной, т. е. есть собственное значение уравнений (132) и (133). Покажем, что его ранг равен единице. Достаточно показать, что однородное уравнение (133) при

имеет, с точностью до произвольного постоянного множителя, только одну собственную функцию.

Пусть — собственная функция уравнения (137). Потенциал простого слоя с плотностью дает функцию гармоническую в для которой предел на S равен нулю. Как и выше, формула (92) покажет, что есть постоянная в и на S, т. е. плотность дает потенциал простого слоя, сохраняющий на и внутри S постоянное значение. Иначе говоря, есть электростатическая плотность. Покажем, что интеграл

дающий общее количество электричества, находящегося в равновесии на проводящей поверхности S, отличен от нуля. Как мы уже упоминали, сохраняет постоянное значение в и формула (54) дает

Если бы интеграл (138) был равен нулю, то мы имели бы

Применим к формулу (94). На S функция сохраняет постоянное значение, и интеграл (140) равен нулю. Отсюда следует, что обе части формулы (94) равны нулю при равна постоянной в , и формула (139) покажет нам, что равно нулю на S, а это противоречит основному предположению, что есть решение однородного уравнения (137), не равное тождественно нулю. Таким образом интеграл (138) действительно отличен от нуля. Умножая на постоянный множитель, мы можем придать интегралу (138) любое наперед заданное значение.

Покажем теперь, что уравнение (137) имеет с точностью до постоянного множителя только одно решение. Пусть — какое-либо решение этого уравнения, отличное от нулевого. Существует такая постоянная с, что интеграл (138) при замене на равен нулю. При этом есть также решение уравнения (137), и, в силу только что доказанного, на S, откуда т. е. формула при произвольном постоянном с дает все решения уравнения (137).

Из приведенных рассуждений следует, что уравнения (132) и (133) для при любом свободном члене имеют определенное решение, и мы получаем, таким образом, решение внутренней задачи Дирихле и внешней задачи Неймана.

Обратимся теперь к уравнению (133) при . Оно дает плотность потенциала (128), решающего внутреннюю задачу Неймана. Для существования решения необходимо и достаточно, чтобы свободный член интегрального уравнения был ортогональным к собственной функции однородного союзного уравнения, т. е. к постоянной. Это приводит к условию;

необходимость которого мы видели уже и выше. При сделанных предположениях оно оказывается и достаточным. Если это условие выполнено, то решение неоднородного уравнения определено с точностью до слагаемого, являющегося решением однородного уравнения (137), т. е. с точностью до слагаемого, которое является электростатической плотностью. Подстановка этого слагаемого в потенциал простого слоя приводит к постоянному потенциалу, а постоянное слагаемое не играет существенной роли при решении внутренней задачи Неймана.

Рассмотрим теперь уравнение (132) при что соответствует внешней задаче Дирихле. Для разрешимости уравнения необходимо и достаточно, чтобы свободный член уравнения был ортогональным к решению однородного уравнения (137), т. е. к электростатической плотности :

Это дополнительное условие не связано с существом задачи, а происходит лишь от того, что мы ищем решение внешней задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя. Из вида такого потенциала непосредственно вытекает, что обращается в нуль при порядка Такое усиленное обращение в нуль в бесконечно далекой точке не является необходимым при решении внешней задачи Дирихле, и именно это обстоятельство и вызывает наличие дополнительного условия (142). Покажем, что можно решить внешнюю задачу Дирихле без всякого дополнительного условия, налагаемого на при помощи суммы потенциалов простого и двойного слоя. Действительно, пусть электростатическая плотность, для которой интеграл (138) равен единице, и соответствующий ей потенциал простого слоя. Потенциал имеет на S предельные значения, равные некоторой постоянной k, отличной от нуля. Выберем постоянную с так, чтобы имело место равенство

т. е. положим

Мы можем, согласно предыдущему, образовать потенциал двойного слоя решающий внешнюю задачу Дирихле с предельными значениями . При этом сумма

будет решать внешнюю задачу Дироле с заданными предельными значениями

Замечание. В настоящем параграфе мы предполагали, что область, для которой мы решаем предельную задачу, ограничена одной поверхностью S Результаты будут иными, если конечная область D ограничена извне поверхностью и изнутри поверхностями Будем для этой области искать решение задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя. Для плотности мы по прежнему поучим уравнение (132)

при причем S будет полной границей D, т. е. S будет состоять из поверхностей и на поверхностях нормаль должна быть направлена вовне D, т. е. внутрь Мы имеем, таким образом, внутреннюю задачу Дирихле. Уравнению (133) при соответствует внешняя задача Неймана. В данном случае она состоит в нахождении функции, гармонической внутри каждой из поверхностей и вне причем заданы значения ее нормальной производной на этих поверхностях. На бесконечности, как всегда, функция должна быть регулярной.

Если заданные значения нормальной производной равны нулю, то имеем однородное уравнение (133) при . Как мы только что видели, это уравнение имеет только нулевое решение, если D ограничена одной поверхностью. В данном случае это будет не так. Действительно, представим себе все поверхности проводящими. На поверхности поместим единицу положительного электричества, а поверхность соединим с землей и положим, что на всех поверхностях установился электростатический режим. На поверхностях мы будем иметь индуцированное распределение электричества с общим зарядом нуль.

Пусть плотность полученного электростатического распределения на S. Потенциал простого слоя с такой плотностью будет, очевидно, постоянным внутри каждой поверхности и равным нулю вне , т. е. этот потенциал будет решением внешней задачи Неймана с однородным предельным условием. Иначе говоря, будет удовлетворять однородному уравнению (133) при Помещая единицу положительного электричества последовательно на каждой из поверхностей мы будем иметь линейно-независимых решений однородного уравнения (133) при Можно показать, что эти функции составляют полную систему линейно-независимых решений упомянутого однородною уравнения. Мы видим, таким образом, что в рассматриваемом случае есгь собственное значение уравнений (132) и (133). Для того чтобы уравнение (132) было разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворяло условиям:

Если хоть одно из этих условий не выполнено, то внутренняя задача Дирихле не разрешима в виде потенциала двойного слоя. Можно показать, что она разрешима в виде суммы потенциалов двойного и простого слоев, аналогично тому, что мы имели выше для внеишей задачи Дирихле. Подробное рассмотрение задач

теории потенциала в случае границы, состоящей из нескольких поверхностей, имеется в книге Н. М. Гюнтера «La theorie du potentiel...» (Paris, 1934).

Мы доказали раньше единственность решения задачи Неймана при условии, что искомая гармоническая функция непрерывна вплоть до S. Из приведенных выше рассуждений следует, что это единственное решение задачи Неймана представимо потенциалом простого слоя.