114. Метод Шварца.

Опишем еще один метод решения задачи Дирихле. Положим, что мы умеем решить задачу Дирихле для областей при любых непрерывных предельных значениях, причем эти области имеют общую часть О, как это указано на рис. 8. Метод Шварца дает возможность решить задачу Дирихле для области получаемой объединением областей Мы проводим рассуждения в плоском случае, но они останутся совершенно такими же и в случае трехмерного пространства.

Рис. 8.

Контуры областей точками их пересечения делятся на части для для Пусть на контуре области В нам задана некоторая непрерывная функция Вычисления в методе Шварца проводятся следующим образом. Функцию заданную, в частности, на продолжаем каким-нибудь образом на с сохранением ее непрерывности. Пусть - полученная таким образом на функция. Решая задачу Дирихле для строим в гармоническую функцию со следующими предельными значениями:

Значения этой функции на вместе со значениями на принимаем за предельные значения новой гармонической функции

Строим теперь в гармоническую функцию с предельными значениями:

Дальше строим в гармоническую функцию с предельными значениями:

и т. д. Вообще

Докажем теперь, что существует что в общей части областей эти пределы совпадают. Для этого используем одну лемму, которую сейчас и формулируем. Упомянем сначала о предположениях, которые мы делаем относительно контуров областей. Мы предполагаем, что контуры областей состоят из конечного числа кусков, имеющих непрерывно меняющуюся касательную. Таким образом, возможно конечное число угловых точек на контуре. Кроме того, мы предположим, что в точках пересечения оба контура имеют касательную, и что эти касательные в образуют между собою угол, отличный от нуля. Формулируем теперь лемму: если контуры областей удовлетворяют указанным условиям и есть функция, гармоническая внутри непрерывная в замкнутой области, принимающая на значения нуль и на удовлетворяющая условию то существует положительная постоянная , зависящая только от областей но не от выбора такая, что на Аналогичное утверждение будет верно, если мы будем исходить из и оценивать на Мы можем при этом считать, что число q одно и то же в обоих случаях. Откладывая доказательство леммы до следующего параграфа, применим ее для доказательства сходимости процесса Шварца.

Согласно построению:

Введем следующие обозначения:

Принимая во внимание предельные условия (153) и лемму, получим Отсюда следует, что

Составим ряд

Его члены, начиная со второго, равны нулю на и имеют оценку на . Таким образом, написанный ряд сходится абсолютно и равномерно на контуре а тем самым во всей замкнутой области. Его сумма будет непрерывной в замкнутой области и гармонической внутри . Сумма первых членов ряда (154) есть и мы можем, следовательно, утверждать, что равномерно в замкнутой области. Совершенно так же докажем, что равномерно в замкнутой области где непрерывна в замкнутой области и гармоническая внутри На основании (152)

Переходя к пределу, видим, что совпадают на Отсюда следует, что они совпадают и везде в общей части О областей Таким образом, внутри функции дают единую гармоническую функцию. В силу (152), эта гармоническая функция имеет предельные значения на контуре и, таким образом, метод Шварца действительно решает поставленную выше задачу.