52. Построение функции «сигма».

Перейдем к построению функции о с указанными выше свойствами. Мы покажем, что эта функция имеет явное выражение в конечном виде, если считать известными экстремали, образующие упомянутое выше центральное поле. Предварительно докажем две леммы:

Лемма 1. Если имеется система дифференциальных уравнений

и известен общий интеграл ее

то имеет место формула

В этой формуле под знаюм логарифма стоит функциональный определитель от функций (142) по и в правой ее части надо заменить функциями (142). Выпишем упомянутый только что определитель и продифференцируем его по t. Принимая во внимание основное определение определителя в виде суммы произведений его элементов, мы можем утверждать, что при дифференцировании определителя достаточно продифференцировать в отдельности каждый его столбец и затем сложить все полученные определители . Таким образом, мы получим

Принимая во внимание, что функции (142) должны удовлетворять системе (141), мы получаем следующие тождества относительно t и .

Дифференцируя эти тождества по , будем иметь

Подставляя эти выражения вторых производных в правую часть формулы (144) и разлагая каждый определитель на сумму трех определителей, будем иметь

что и дает формулу (143).

Лемма 2. Пусть t — единичный вектор касательной к некоторому семейству кривых, зависящему от двух параметров и заполняющему трехмерное пространство или некоторую его часть, и — функциональный определитель преобразования от декартовых координат к криволинейным, причем за криволинейные координаты принимаем два параметра определяющих линию упомянутого семейства, и длину дуги s вдоль этой линии, отсчитываемую от некоторой поверхности, которая пересекает все линии семейства, или от точки, где все эти линии пересекаются. При этом имеет место формула

Писть - составляющие вектора t в точке . При этом кривые семейства удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

Так как правые части не содержат s, одна из произвольных постоянных будет входить в качестве слагаемого к S, и общий интеграл системы будет иметь вид

Применяя предыдущую лемму, получим

и, принимая во внимание, что

мы и получаем формулу (145).

Вернемся теперь к рассмотренному выше центральному полю экстремалей с центром и к уравнению (130), которому должна удовлетворять функция а. Вектор касается экстремали, и из (124) следует, что , где .

Принимая это во внимание, можем переписать уравнение (130) в виде

причем длина дуги s отсчитывается от точки

Для вычисления используем лемму 2. Мы имеем

где t — единичный вектор касательной к экстремали поля. Отсюда

Первое слагаемое справа есть производная от по s, а второе, в силу леммы 2, равно

и уравнение для переписывается в виде

или

откуда, интегрируя, получаем

где - произвольная функция своих аргументов. В качестве параметров и возьмем угловые координаты сферической системы координат для направления касательной к экстремали в точке . Предыдущая формула при этом запишется в виде

Вид функции мы определим из первого из условий для функции указанных в [51]. Это условие имеет вид

Принимая во внимание вид интеграла (123), мы можем написать

где интегрирование производится вдоль экстремали. Применяя теорему о среднем, получим

и предыдущее условие для может быть записано в виде

Заметим, что при точка М стремится к

Для исследования функционального определителя, стоящего в формуле (146), обратимся к формулам, установленным в для канонических переменных в задаче о геодезических линиях. В данном случае

и канонические переменные имеют вид

Мы имеем следующие начальные условия

и

Уравнения экстремалей поля будут:

где функции, имеющие непрерывные производные до некоторого порядка. Дифференцируя первую из формул по и полагая затем s = 0, получим

Пользуясь формулами (148) и произвольностью получим

Пользуясь и остальными формулами (149), получим следующие общие формулы:

С помощью формул (148) и (149) мы можем составить функциональный определитель от функции по переменным . При дифференцировании по через посредство мы получим множитель S, и два столбца этого определителя будут содержать этот множитель. Деля определитель на мы перейдем к пределу, устремляя s к нулю. В результате придем к равенству

Для определения произвольной функции в формуле (146) умножим обе ее части на s и устремим s к нулю. Пользуясь последней формулой и формулой (147), будем иметь

и окончательно мы получаем следующее выражение для функции

Можно проверить, что функция имеет все свойства, указанные в [51]. Если , то суть обычные сферические координаты точки М, и последняя формула дает