68. Анизотропное упругое тело.

Введем в рассмотрение составляющие тензора деформации, несколько изменяя обозначения из

В случае анизотропного тела с тремя взаимно перпендикулярными плоскостя симметрии работа сил деформации, отнесенная к единице объема, выражается через составляющие тензора деформации в виде следующего однородного полинома второй степени:

где коэффициенты суть функции или постоянные, в случае однородной среды. Уравнения из при наличии силы инерции могут быть записаны в виде

Подставляя выражения A, получим следующие уравнения:

Вводя для сокращения письма обозначения:

мы можем записать коэффициенты в виде

Уравнение первого порядка (9), определяющее характеристические по верхности, совпадает, как нетрудно видеть, с основным уравнением относительно которое служит для приведения эллипсоида:

к осям симметрии . Заметим, что левая часть написанного уравнения может быть получена из выражения если в нем положить , а потому она представляет собою определенно положительную квадратичную форму от и, следовательно, уравнению (33) соответствует действительно эллипсоид. Решая упомянутое выше уравнение для , мы получим в каждой точке тела три положительных корня для причем будет однородной функцией второго измерения от . Если обе части уравнения (33) разделить на то превратится в , где направляющие косинусы нормали к поверхности волны, и полученный корень превратится

в . Таким образом, в каждой точке мы для любого фиксированного направления будем иметь три возможные скорости перемещения волны.

Составляющие вектора прерывности будут получаться из однородной системы, из которой определяются направления осей симметрии эллипсоида (33). Таким образом, в каждой точке, при задании определенного" направления, мы имеем три взаимно перпендикулярных вектора прерывности, соответствующих трем скоростям перемещения. Для того чтобы иметь продольные и поперечные волны, необходимо и достаточно, чтобы одна из осей эллипсоида была направлена по нормали к соответствующей волне. Если это выполнено, то мы будем иметь одну продольную и две поперечные волны, причем мы считаем, что при фиксированном направлении упомянутое кубическое уравнение имеет различные корни В случае однородной изотропной среды, как мы видели, один из корней будет двойным. Направляющие косинусы нормали к волне пропорциональны и, следовательно, указанное выше условие равносильно тому, что для некоторого корня величины должны быть пропорциональны при любом выборе , т. е. при любом выборе направления. Заменяя в однородной системе для эти величины пропорциональными величинами мы получим

Если мы примем во внимание, что при любом выборе должны получить из трех уравнений (34) одно и то же значение для то мы придем к следующим условиям для коэффициентов упругого потенциала А:

и написанные три уравнения дают нам т. е. для скорости продольных волн мы получаем

Остальные два корня, соответствующие поперечным волнам, вообще говоря, различны и зависят от выбора направления волны, т. е. от выбора . Равенства (35) дают нам пять условий для девяти коэффициентов, входящих в выражение упругого потенциала А.