122. Функция Грина оператора Лапласа.

Мы можем определить функцию Грина и для уравнения с частными производными аналогично тому, как это мы делали для обыкновенного дифференциального уравнения. Начнем с определения функции Грина для уравнения Лапласа при одном из следующих однородных предельных условий:

причем мы рассматриваем трехмерный случай Мы можем строить функцию Грина как для конечной области , находящейся внутри S, так и для бесконечной области вне S Начнем с конечной области Функция Грина должна быть функцией пары точек (Р, Q), причем, как функция Р, она должна внутри D, иметь везде, кроме точки Q, непрерывные производные до второго порядка и удовлетворять уравнению Лапласа, а на границе — предельному условию. Далее, как функция Р, должна иметь особенность в точке Q, соответствующую конечному заряду (или массе), сосредоточенном в точке Q Принимая во внимание множитель входящий формулу [II, 201]

мы определим функцию Грина для условий (189) или (190) следующим образом:

Определение Функцией Грина оператора Лапласа, соответствующей предельным условиям (189) или (190), насевается функция удовлетворяющая, как функция Р,

при произвольно фиксированной точке следующим условиям:

1) внутри кроме точки Q, эта функция гармоническая;

2) она удовлетворяет предельному условию (189) или (190))

3) она может быть представлена в виде

где — гармоническая функция везде внутри

Построение функции Грина сводится к нахождению ее регулярной части . В случае предельного условия (189) гармоническая внутри D; функция должна на S иметь предельные значения

В случае (190) предельные условия для имеют вид

Таким образом, построение функции Грина сводится к решению первой или третьей предельной задачи для уравнения Лапласа, и мы можем считать установленным существование функции Грина, если S — поверхность Ляпунова.

Для внешней области к определению функции Грина добавляется условие ее регулярности на бесконечности, т. е. при любом фиксированном Q на конечном расстоянии должна стремиться к нулю, если точка Р стремится к бесконечности.

Пусть любая ограниченная область и — множество ее граничных точек. В существует обобщенное решение задачи Дирихле с предельным условием (193). При этом формула (192) определяет обобщенную функцию Грина для области при предельном условии (189). Если регулярная точка границы, то при Можно доказать и обратное утверждение: если при то регулярная точка границы,

В случае плоскости определение функции Грина совершенно аналогично, но только вместо (192) будет иметь место формула

Из формул (192) и (195) следует, что функция Грина обращается в бесконечность при совпадении Р и Q, причем при Р

достаточно близких к Q функция Грина положительна. Точка Q называется полюсом функции Грина. Дальше мы будем рассматривать функцию Грина лишь при предельном условии (189), Покажем, что есть непрерывная функция точек Р и Q внутри если эти точки не совпадают. Принимая во внимание (192), можем утверждать, что доказательство непрерывности может быть сведено к доказательству непрерывности . Оценим разность добавляя и отнимая получим

Разность есть разность значений в точках Р и и она очевидно стремится к нулю при Разность представляет собою значение в точке Р гармонической функции с предельными значениями на S, где расстояния переменной точки N на S от точек Q и

Если Q" достаточно близко к Q, то абсолютное значение разности сколь угодно мало при изменении N на

Но гармоническая функция принимает наименьшее и наибольшее значения на границе S, и мы можем утверждать, что при Этим и доказывается непрерывность функции а тем самым и .

Функция положительна в окрестности точки Q и равна нулю на , и, следовательно, положительна внутри области . То же рассуждение в трехмерном случае годится и для . Выведем еще одно простое неравенство для . Функция имеет на S отрицательные предельные значения (193). Тем самым, в замкнутой области и, следовательно,

Такая же оценка справедлива и для .

Проведем теперь рассуждения для случая плоскости. Пусть d — диаметр конечной области В на плоскости, т. е. наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими замкнутой области В. Гармоническая функция принимает на границе значения отрицательные при любом положении полюса Q внутри В. Таким образом, мы имеем

внутри В. Это дает нам

т. е. имеет место неравенство вида

где а и b — постоянные. Неравенства (196) и (197) дают нам оценки функции Грина, зависящие от расстояния между точками Q.