123. Свойства функции Грина.

Рассмотрим функцию Грина в , обозначая, как и выше, через расстояние от переменной точки пространства до точки . Определим функцию

Она — гармоническая, как внутри , так и внутри , и равна нулю на бесконечности. В она имеет производные любого порядка, непрерывные вплоть до S. Мы можем рассматривать в как решение задачи Неймана с предельными значениями:

и можем представить, таким образом, в как потенциал простого слоя с непрерывной плотностью:

Значения этого потенциала на S равны где

т. е. такие же, что и Отсюда видно, что формула (200) для функции определенной равенством (198), справедлива во всем пространстве, т. е.

и, следовательно, имеет в правильные нормальные производные на S. То же можно, очевидно, утверждать и относительно

Отметим, в связи с предельным условием (199), что функция при любом положении точки Q внутри имеет производные всех порядков не только на S, но и в пространстве вблизи На правая часть (199) удовлетворяет, очевидно, условию Липшица.

и мы можем утверждать, что и удовлетворяет условию Липшица [98], и, следовательно, имеет непрерывные вплоть до производные первого порядка [100]

Докажем теперь симметрию функции Грина:

При этом заметим, что в силу доказанного выше, имеет правильные нормальные производные на S. Внутри она имеет везде, кроме Q, непрерывные производные. Применим теперь формулу

к функциям выбирая за область интегрирования область с исключением двух сфер с центрами в точках и с малым радиусом е. Такое применение возможно в силу вышесказанного. Тройной интеграл по этой области обратится в нуль, так как функции Грина вне полюсов удовлетворяют уравнению Лапласа Интеграл по S обратится в нуль, в силу предельного условия (все равно какого), и, таким образом, мы придем к равенству

где - поверхности вышеупомянутых сфер. В точке функция никаких особенностей не имеет, а функция обращается в точке в бесконечность порядка

Принимая во внимание, что произведение на площадь поверхности сферы стремится к нулю при мы видим, что единственными членами в написанной формуле, которые не будут стремиться к нулю при будут те члены, которые содержат нормальную производную от в окрестности той точки, где Таких членов будет два, и мы получим, выписав их явно, сумму:

где при расстояние переменной точки Р до расстояние переменной точки Р до . В формуле Грина мы имеем внешнюю нормаль, следовательно, в последних формулах нормаль должна быть направленной внутрь сфер, т. е. противоположно радиусу, и мы имеем

Применяя к интегралам теорему о среднем, можем написать:

где некоторая точка на Переходя к пределу при мы получим

что и доказывает симметричность функции Грина. этого равенства следует, что непрерывна по (Р, Q) в за исключением множества, где

Для сферы функция Грина имеет вид [II; 208]

где — расстояние точки Q от центра, расстояние точки Р до точки Q, симметричной с Q относительно сферы, и R — радиус сферы. Обозначая через координаты то чек Р и Q, можем написать:

Дифференцируя формулу (203), например, по учитывая, что

получим оценку

Принимая во внимание, что для точек Р и Q, находящихся внутри сферы, получим

Аналогичные оценки получаются и для других частных производных.

Пусть есть решение внутренней задачи Дирихле для области , ограниченной поверхностью S, с предельными значениями Если нам известно, что имеет правильную нормальную производную, то мы можем применить к формулу (91), полагая . При этом мы получаем (ср, [II; 208])

А. М Ляпунов доказал, что эта формула дает решение задачи Дирихле при любом выборе непрерывной функции , входящей в предельное условие Ему же принадлежит и первое строгое доказательство симметричности функции Грина. Эти резуль таты, а также результаты, относящиеся к теории потенциала, о которых мы говорили выше, содержатся в работе А. М. Ляпунова «О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле» (1898 г.), о которой мы уже упоминали.