101. Логарифмический потенциал.
В случае плоскости вместо основного сингулярного решения 
мы имеем 
Пусть 
замкнутый контур на плоскости 
его длина. Потенциал простого слоя определяется формулой
Второе сингулярное решенне, аналогичное диполю в трехмерном случае (см. (18)), будет
и потенциал двойного слоя определится формулой
где 
. Выражение 
дает угол, под которым виден элемент контура 
из точки М, причем этот угол получается положительным, если 
и отрицательным, если 
Аналогом формулы (26) будет следующая формула;
Относительно контура 
можно сделать предположения, аналогичные тем, которые мы делали относительно поверхности S Положим теперь, что функции 
дающие параметрическое уравнение линии 
и имеющие период 
допускают непрерывные производные до второго порядка. Функцию 
мы считаем непрерывной. Исследуем ядро потенциала двойного слоя, считая, что точка М лежит на l и совпадает с некоторой точкой 
этой линии. Принимая во внимание, что направляющие косинусы направления 
выражаются производными 
мы можем написать:
Если s и 
отличны, то написанное выражение представляет собою непрерывную функцию s и 
Положим теперь, что s и 
стремятся к общему пределу 
Применяя формулу Тейлора, можем написать:
где значения 
находятся между s и 
Подставляя в (84) и сокращая на 
мы получим в пределе выражение
равное половине кривизны кривой в точке 
Таким образом, функция (84) является непрерывной функцией S и 
вдоль 
Обозначая эту функцию через 
мы можем утверждать, что потенциал двойного слоя 
представляет собой непрерывную функцию 
если 
находится на 
Таким образом, при сделанных предположениях относительно 
функция (84) является непрерывной функцией s и 
на 
. В трехмерном случае функция 
имела, вообще говоря, полярность при совпадении N с 
Для потенциала двойного слоя (82) можно доказать формулы, аналогичные (42):
где 
угол, образованный направлением 
с направлением 
внешней нормали к l в точке 
Из (85) следует
Потенциал простого слоя (81) определен во всех точках плоскости и непрерывен на всей плоскости.
Пусть 
некоторая точка на 
— направление нормали в этой точке. Мы имеем, если М не на S,
При приближении М к 
по нормали изнутри и извне S производная (87) имеет пределы, которые определяются по формулам
из которых следует
Вместо (84) мы будем иметь
и, как и выше, можно показать, что это выражение остается непрерывным и при совпадении s и 
. Отметим, что потенциал простого слоя (81) не обращается, вообще говоря, в нуль на бесконечности.
