137. Уравнение ...

Рассмотрим уравнение

где — заданное положительное число, и поставим внутреннюю задачу Дирихле с предельным условием

Решения уравнения (303) не могут иметь внутри ни положительных максимумов, ни отрицательных минимумов [136], и отсюда следует единственность решения указанной задачи Дирихле.

Если функция удовлетворяет неравенству где а и b — некоторые положительные числа то такому же неравенству в Д должно удовлетворять и решение задачи Дирихле (это следует из последнего результата [136]).

Рассмотрим сначала неоднородное уравнение

с однородным Предельным условием

Мы считаем, что непрерывна в замкнутой области и имеет внутри непрерывные производные. Задача (305), (306) равносильна интегральному уравнению (ср. [126])

где - функция Грина уравнения Лапласа с предельным условием (306). Поскольку отрицательное число, а все собственные значения ядра — положительны, уравнение (307) имеет при любом свободном члене одно определенное решение, которое и является решением задачи (305), (306).

Перейдем теперь к решению задачи Дирихле (303) и (304), Пусть решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с предельным условием (304). Функция

должна удовлетворять уравнению

и предельному условию

Мы только что доказали существование решения этой задачи. Зная , мы найдем решение задачи Дирихле согласно формуле (308).

Основным сингулярным решением уравнения (303) является решение

где — расстояние точки Р до некоторой фиксированной точки Q. Основываясь на этом решении, можно построить теорию потенциала совершенно так же, как мы это делали в [132]. Мы не будем на этом останавливаться и перейдем к определению функции Грина.

Функция Грина уравнения (303) при предельном условии (306) есть функция Р, непрерывная в имеющая в непрерывные производные до второго порядка, удовлетворяющая внутри уравнению (303), на — предельному

условию (306) и имеющая вид

где имеет внутри везде непрерывные производные до второго порядка. Функция есть решение задачи Дирихле для уравнения (303) при предельном условии

Совершенно так же, как и в [122], можно показать, что — непрерывная функция пары точек Р и Q и что внутри D, имеет место неравенство

Тем же способом, что и в [123], доказывается симметрия функции .

Решение уравнения (305) при условии (306) можно выразить формулой

Это доказывается так же, как и в [126]. Интеграл

внутри удовлетворяет однородному уравнению (303) [126]. Интеграл с сингулярной частью можно представить в виде

К первому слагаемому применима формула Пуассона, а во втором слагаемом ядро ограничено и возможно двукратное дифференцирование под знаком интеграла. Отсюда непосредственно следует, что применение оператора к (313) даст . Предельное условие (306) для функции (313) проверяется, как и в [126].

Можно подойти к понятию функции Грина и иначе, а именно так же, как это мы делали в [74]. Рассмотрим неоднородное уравнение (305) и будем считать, что обращается в нуль везде, кроме сферы с центром Q и малым радиусом , причем

Переходя к интегральному уравнению (307), мы можем написать его решение в виде [IV. 8]

где резольвента уравнения (307). Учитывая определение можем ожидать, что, при стремлении к нулю, левая часть (315) стремится к а правая — к , так что

т. е. функция Грина является резольвентой интегрального уравнения (307).

Это, естественно, приводит к следующему соотношению:

которое легко может быть доказано на основании того, что разность удовлетворяет уравнению предельному условию (306) и сохраняет непрерывность в точке Q. Но мы имели для резольвенты представление в виде ряда по собственным функциям ядра что даст в рассматриваемом случае

где - собственные значения и собственные функции ядра т. е. уравнения (231) при условии (232). Сравнивая с (316), получим

Сказанное выше не является строго обоснованным. Сейчас мы проведем доказательство формулы (317), которая нам понадобится в дальнейшем. Напомним прежде всего, что ряд

где — собственные значения задачи сходится. Определим коэффициенты Фурье функции относительно собственных функций задачи

Заменяя , получим

Из двух последних формул следует;

Принимая во внимание симметрию функции и тот факт, что формула (313) дает решение уравнения (305), удовлетворяющее условию (306), мы можем утверждать, что правая часть формулы (319) равна . В данном случае роль в формуле (313) играет

Эта функция имеет внутри непрерывные производные, и если ее взять за правую часть уравнения (305), то решение этого уравнения, удовлетворяющее условию (306) (такое решение единственно), будет . Формула (319) дает:

Таким образом, правая часть формулы (317) есть ряд Фурье левой части, причем эта последняя является функцией, представимой через ядро. Ряд, стоящий в правой части (317), сходится регулярно относительно Р при любом фиксированном Q. Это следует из оценок

совершенно так же, как и в . Первая из написанных формул выражает уравнение замкнутости для функции Отметим еще, что левая часть (317) есть непрерывная в замкнутой области D, функция точек Р и Q. Это может быть доказано совершенно так же, как мы доказывали непрерывность объемного потенциала и его производных первого порядка . Отметим, что член с наибольшей полярностью в подынтегральной функции левой части формулы (317) равен

где — расстояния от Q до Q и Р.

Из сказанного выше следует справедливость формулы (317). При совпадении Р и Q получаем формулу

причем рад сходится равномерно в замкнутой области так как справа, в силу сказанного выше, стоит непрерывная функция . Интегрируя (321) по , получим

где

Формула (322) будет нами использована при исследований