51. Формула Соболева (продолжение).

Положим, что нам удалось построить функцию с непрерывными производными до второго порядка в окрестности точки имеющую особенность в точке и удовлетворяющую следующим условиям:

1) произведение имеет непрерывные производные до второго порядка, включая точку и

3) оператор Лапласа от удовлетворяет неравенству

где К — постоянная (не зависит от М);

4) если некоторая замкнутая поверхность, содержащая внутри себя, и — направление внешней нормали на то при беспредельном сжимании имеет место предельное равенство

Если с — постоянная, то всем этим условиям удовлетворяет функция

Используя функцию с указанными выше свойствами, мы построим сейчас формулу для решений уравнения (122). Пусть — такое решение в области D, ограниченной поверхностью S, и пусть точка внутри D. Положим, что существует центральное поле с центром содержащее область и что у нас имеется функция с указанными выше свойствами.

Исключим из области D малую сферу с центром диусом е. К оставшейся области D мы можем применить формулу (132):

Покажем, что при интеграл по даст нам Действительно, величины

при приближении к будут ограничены; на будет порядка , и, в силу на будет порядка а площадь будет порядка Отсюда следует, что интегралы

стремятся к нулю вместе с е. Остается интеграл

Здесь нормаль берется внешней по отношению к области D т. е. внутренней по отношению к сфере На сфере стремится к при и, принимая во внимание (136) и сказанное выше о направлении нормали, мы видим, что последний интеграл действительно дает в пределе Формула (137) дает нам в пределе искомую формулу

которая была построена С. Л. Соболевым.

Если с — постоянная, то и тройной интеграл пропадает, и мы получаем обычную формулу Кирхгофа. В случае переменного с (неоднородная среда) значение и в точке получается в результате запаздывающего излучения не только из точек поверхности S, но из всей области

Формула (138) может быть применена при решении задачи Коши для уравнения (122). Пусть требуется найти решение уравнения (122), удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Применим к искомому решению формулу (138), причем за поверхность S возьмем квазисферу с центром и радиусом

т. е. положим, что уравнение поверхности имеет вид . При этом в правой части значения функций

должны быть взяты в момент времени или, в силу в момент времени . Принимая во внимание начальные данные (139), мы сможем переписать уравнение (138) в виде

где область, ограниченная квазисферой Двойной интеграл, стоящий справа, представляет собою известную функцию, которую мы обозначим через Мы получили, таким образом, для интегральное уравнение

При выводе этого уравнения мы должны были предполагать, что t таково, что в области существуют центральное поле с центром и функция с указанными выше свойствами.

Заметим, что при изменении меняется и область и уравнение (140) аналогично уравнению Вольтерра. Можно показать, что при достаточно близких к нулю, это уравнение Ихмеет единственное решение, которое может быть получено применением обычного метода последовательных приближений, и что это решение является вместе с тем и решением поставленной задачи Коши для уравнения (122). Если мы имеем безграничное пространство, то близость t к нулю обусловливается возможным появлением особенностей у поля вариационной задачи при расширении При наличии границ мы должны, конечно, считаться с приходом возмущений, отраженных от границы, что также существенно ограничивает возможный проме жуток изменения t.