29. Уравнения, высших порядков.

Указанный выше метод применим почти без всяких изменений и для случая уравнений высших порядков. Рассмотрим для примера уравнение второго

порядка с двумя независимыми переменными, разрешенное относительно производной второго порядка по

Начальные данные Коши в данном случае состоят в задании u и при начальном значении

Пусть - функции, регулярные в точке Обозначим

и положим, что правая часть уравнения (220) есть регулярная функция в точке

При этом уравнение имеет единственное регулярное решение, удовлетворяющее условиям Коши (221). Мы не будем проводить доказательства этого утверждения, которое аналогично предыдущему доказательству, и ограничимся лишь указанием на возможность однозначного вычисления коэффициентов Маклорена искомого решения. Начальные условия (221) дают нам непосредственно значение производных

при любых неотрицательных значениях а, т. е. начальные условия дают нам начальное значение самой функции и тех ее производных, в которых дифференцирование по совершается не больше одного раза. Само уравнение даст нам после этого

Дифференцируя обе части уравнения (220) несколько раз по у, мы получим значения

Дифференцируя обе части уравнения (220) по и пользуясь полученным уравнением совершенно так же, как это мы делали только что с исходным уравнением (220), мы будем иметь значения

Продолжая так и дальше, мы получим вполне однозначно все коэффициенты Маклорена искомой функции.

Формулируем теперь теорему Ковалевской в самом общем случае для систем уравнений любого порядка. Пусть имеется система уравнений относительно искомых функций от независимых переменных

Правые части этих уравнений содержат независимые переменные функции и их производные до порядка , причем в эти правые части не должны входить производные , относительно которых система разрешена. Начальные данные Коши имеют при этом вид

Функции, стоящие в правых частях последних равенств, мы считаем регулярными при нулевых значениях аргументов. Вычислим с помощью этих функций значения всех функций, входящих в функции в точке Предположим, что функции регулярны в окрестности этих вычисленных значений их аргументов.

При выполнении всех перечисленных условий имеет место теорема существования и единственности регулярного решения системы (222) при начальных условиях (223).

Заметим, что можно построить всю теорию дифференциальных уравнений с частными производными, ограничиваясь рассмотрением одних аналитических функций. В дальнейшем при рассмотрении уравнений высших порядков мы выясним недостаточность такой точки зрения.