165. Гиперболические уравнения общего вида. Энергетическое неравенство для первой начально-краевой задачи.

Оставшиеся разделы книги мы посвятим первой начально-краевой задаче для уравнений гиперболического типа. Рассмотрим уравнение

того же вида, что и в [56], в области евклидова пространства Пространственные переменные меняются в области В пространства а временная переменная t меняется на интервале . Коэффициенты уравнения (154) и свободный член f могут зависеть от Относительно коэффициентов предположим, что они суть ограниченные, измеримые функции на , причем дифференцируемы по и t и производные ограничены на (эти производные вобщем случае — обобщенные). Свободный член пусть является элементом Гиперболичность уравнения (154) гарантируется условием

в котором v — положительная постоянная, а произвольные вещественные параметры (как всюду, считаем, что . Поставим для уравнения (154) в области первую начально краевую задачу. Она состоит в определении функции удовлетворяющей в уравнению (154), на нижнем основании начальным условиям

и на боковой поверхности краевому условию

где — граница В. Иначе говоря, мы определяем решение уравнения (151) в области В евклидова пространства в моменты времени которое в начальный момент времени удовлетворяет условиям Коши (156) и во все эти моменты времени обращается в нуль на границе области В.

Покажем, что эта задача корректна, т. е. имеет не более одного решения, и это решение непрерывно зависит от начальных данных и свободного члена уравнения. Непрерывность понимается в смысле Интегральных норм, определяемых энергети ческим неравенством, которое мы сейчас выведем. Разрешимость

задачи (154), (156), (157) мы докажем в следующем пункте, правда, не для всего класса уравнений (154), а для той его части, для которой решения хорошо представляются рядами Фурье. Здесь и ниже мы будем иметь дело с обобщенными решениями из класса Они удовлетворяют уравнению для почти всех (в смысле Лебега) точек Элементы этого класса при всех принадлежат и непрерывно зависят от t в норме этого пространства (т. е. при ). Их производная при всех является элементом и непрерывно зависит от t в норме . В соответствии с этим начальные условия принимаются в следующем смысле: при а условие (157) — в том, что принадлежит при всех подробно о пространствах см. [V; гл. IV]). Относительно естественно предположить при этом, что

Вывод энергетического неравенства для решений задачи (154), (156), (157) (мы будем опускать ниже эпитет «обобщенных», считая, что всюду речь будет идти об обобщенных решениях класса , если не оговорено противное) близок к выводу энергетического неравенства для решений задачи Коши, проведенному в [56]. Он даже проще последнего, ибо возникающие в данном случае интегралы по боковой поверхности обращаются в нуль в силу условия (157). Мы заимствуем из [56] ряд обозначений и оценок. Точнее, обозначим через интеграл

где есть сечение цилиндра плоскостью а через цилиндр считая Умножим уравнение (154) на и результат проинтегрируем по

Левую часть (159) представим иначе, преобразуя часть членов, в нее входящих, с помощью интегрирования по частям

следующим образом;

При выводе этих равенств мы учли, что , а потому и . В силу них (159) эквивалентно следующему:

Дальнейшие оценки интеграла стоящего в правой части вполне аналогичны тем, которые мы провели в [56] (то, что в данном случае есть цилиндр, а не конус, несущественно). Мы не будем повторять их здесь, а напишем интересующее нас энергетическое неравенство, выводимое из (160) в результате этих оценок. Оно имеет вид (в [56] ему соответствует неравенство (201))

Входящая в него постоянная С определяется коэффициентами М, точнее, числом v из условия (155) и максимумами модулей функций и с в области .

Функции, стоящие в правой части неравенства (161), известны из условий задачи, в частности, интеграл по равен . Из (161) следует неравенство в

где постоянная из неравенства (так что мажоранта для ). Неравенство (162) также называется энергетическим. Из него следует

Теорема 1. Задача (154), (156), (157) имеет не более одного решения из и ее решения непрерывно зависят от начальных данных и свободного члена.

Действительно, если суть два решения из отвечающие начальным данным и свободным членам (силам) их разность есть решение той же задачи из отвечающее начальным данным и свободному члену . Поэтому для справедливо неравенство (162), из которого и следуют оба утверждения теоремы.