59. Теорема вложения в пространство непрерывных функций и некоторые ее следствия.

Оказывается, если функция обладает квадратично суммируемыми обобщенными производными по всем до порядка l и , то она эквивалентна функции непрерывной в D, и оценивается через норму f в пространстве Это верно при некоторых ограничениях на область D, например для D с гладкой границей. Сформулированное утверждение является частным случаем теорем вложения, установленных С. Л. Соболевым. Мы докажем несколько более слабое предложение: непрерывность лишь в открытой области D и оценку для любой внутренней подобласти D области D. Сначала убедимся в справедливости следующей теоремы:

Теорема 1. Если функция имеет внутри -мерного шара D непрерывные производные до некоторого порядка l и имеют место оценки

то в любом концентрическом внутреннем шаре для с той функции и ее производных до порядка , где целая часть положительного числа имеют место оценки

где постоянная с зависит только от бора

Построим вспомогательную функд о

где

Очевидно, при стремлении к j от больших значении и при стремлении к от меньших значении.

При этом стремится соответственно к единице и нулю, и нетрудно проверить, что все производные непрерывны при . Пусть некоторая точка из и h — разность радиусов D и Введем сферическую систему координат с центром

причем Для элемента объема мы имеем

Вычеркивая и полагая получаем элемент щади поверхности единичной сферы. Вводим функцию

где — расстояние . Непосредственно проверяются следующие формулы:

и мы мсжем написать

причем интегрирование производится по лучу, выходящему из . Умножая обе части этой формулы на интегрируя в пределах получим

где шар с центром и радиусом h и площадь поверхности единичной сферы в Полагая перепишем предыдущую формулу в виде

и, применяя неравенство Буняковского, получим

При четном показатель степени в последнем интеграле равен единице, а при нечетном — нулю. Таким образом, мы полу чаем

где постоянная зависит только от h. Обратимся к формуле (220). Коэффициент при f в правой ее части равен, при нулю в силу (219). С другой стороны, принимая во внимание правило дифференцирования сложной функции, можем утверждать, что есть линеиная комбинация производных порядка по с ограниченными коэффициентами. Благодаря этому можем написать:

где a — ограниченная непрерывная функция и

При т. е. при все коэффициенты в написанной формуле ограничены, откуда, учитывая неравенство и оценку (217), получаем, в силу

где постоянная с зависит только от h. Если для целого положительного имеет место неравенство т. е. мы можем применить все предыдущие рассуждения, заменяя f на какую-либо частную производную от f порядка на

Таким образом, мы получили оценки (218). Теорема доказана.

Пусть теперь для функции f выполнены все условия этой теоремы, кроме предположения о непрерывности и ее производных, так что f есть элемент пространства (D). Фиксируем какой-либо шар концентрический с D и имеющий меньший радиус. Для точек этого шара определим средние считая h непревосходящим разности радиусов D и Для них

Действительно, из определения и неравенства Буняковского следует, что

Так как для всех производных то из (217) и (222) следует, что интегралы от квадратов всех по не превосходят поэтому

Далее известно что стремится при в норме определенной в (223), и поэтому при . В силу неравенства (218), примененного к функции и шару концентрическому с и имеющему меньший радиус, эта разность и все ее производные по до порядка стремятся к нулю при равномерно относительно . Так как, к тому же, функции бесконечно дифференцируемы, то предельная для них функция f будет непрерывной в вместе со своими производными до порядка Эта функция f совпадает с f для почти всех Тем самым доказана

Теорема 2. Если из условий предыдущей теоремы отбросить предположение о непрерывности f, а производные f считать обобщенными, то существует функция f, эквивалентная и нетрерывная вместе со своими производными до порядка в открытом шаре D. Для f верны оценки (218).

Эта теорема и результаты, изложенные в [58], позволяют сделать следующие выводы о существовании классических решений задачи Коши для уравнения (212);

Если принадлежит принадлежит то соответствующее им решение и задачи Коши для уравнения (212) непрерывно и имеет непрерывные производные до порядка l.

Здесь принадлежность означает, что для любого шара Из рассуждений [58] следует существование решения и задачи Коши, принадлежащего а это совместно со второй теоремой данного пункта гарантирует непрерывность и ее производных до порядка

Для неоднородного уравнения решение задачи Коши при тех же начальных данных будет классическим, если