79. Примеры.

1. Рассмотрим уравнение

и предельные условия . В данном случае и функция Грина будет

Собственные значения и собственные функции определяются в конечном виде:

и мы имеем теорему разложения по этим собственным функциям для всех функций, удовлетворяющих условиям, указанным в предыдущем параграфе. Можно значительно расширить условия применимости теоремы разложения, на чем мы останавливаться не будем.

2. Сохраняя прежнее дифференциальное уравнение, возьмем новые предельные условия . В данном случае

а собственные значения и собственные функции имеют следующий вид:

3. Рассмотрим теперь для того же уравнения предельные условия вида .

Составим соответствующую функцию Грина. Построим решения уравнения из которых одно удовлетворяет первому из предельных условий, а другое — второму: . Рассуждая так, как это было указано в [74], мы придем к следующей формуле для функции Грина:

В данном случае все собственные значения — положительны, и, полагая мы убедимся без труда в том, что соответствующие значения определяются из уравнения а собственные функции будут причем постоянная должна быть найдена из условия нормирования этих функций.

4. При исследовании колебаний круглой мембраны, закрепленной на концах, мы пришли к следующей предельной задаче. Найти значения параметра при которых уравнение

имеет решение, конечное на конце и равное нулю при . Буква обозначает целое неотрицательное число. Эта предельная задача имеет особенность по сравнению с теми, которые мы рассматривали до сих пор, а именно: коэффициенты уравнения имеют полюс на конце и на этом

конце, вместо определенного предельного условия, мы ставим только условие ограниченности решения в окрестности . Это приводит к определенному конечному значению решения уравнения (25) при

Мы неоднократно встречались и раньше с такими особыми предельными задачами. Умножая обе части (25) на мы перепишем уравнение в обычной форме: 2

и будем считать заданное число положительным.

Определение функции Грина остается прежним, но только вместо предельного условия на конце мы требуем конечности функции Грина при Уравнение будет уравнением Эйлера [II; 42], и оно будет иметь линейно-независимые решения

Принимая во внимание условие конечности на конце мы должны в промежутке взять для функции Грина выражение а в промежутке мы должны составить такую линейную комбинацию указанных выше решений, которая обращается в нуль при , т. е. в этом промежутке мы должны взять для функции Грина выражение вида Постоянные определятся, как всегла, из условий непрерывности функции Грина и скачка ее первой произзодной при Это даст нам следующую формулу:

Совершенно так же, как и раньше, неоднородное уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее указанным выше предельным условиям, и это решение определяется формулой

Рассуждения из [78] покажут нам, что все собственные значения положительны. Полагая будем иметь для определения собственных значений трансцендентное уравнение , а собственные функции будут . В случае уравнение имеет линейно-независимые решения а функция Грина будет определяться формулой

Отметим, что в данном случае формула (9) дает нам

и непосредственно проверяется, что эта функция удовлетворяет уравнению и предельным условиям. Из вида уравнения (26) непосредственно следует, чтов данном случае мы имеем При приведении нашей предельной задачи к интегральному уравнению мы получим ядро которое будет непрерывным во всем квадрате, включая и его вершину .

Собственными функциями этого интегрального уравнения будут функции , и мы будем иметь разложение в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье:

После деления на мы получим

и для этого ряда мы можем утверждать его равномерную сходимость только в промежутке , где — любое заданное положительное число. Постоянные определяются, в силу условия нормированности, формулой

Отметим при этом, что функция определяемая формулой (27), стремится к бесконечности, когда точка стремится к вершине квадрата . В данном случае, кроме указанных выше особенностей, мы имеем ту особенность, что функция обращается в нуль на конце х = 0.

В томе V мы подробно займемся предельными задачами для уравнений, имеющих особые точки на концах промежутка, и для уравнений на бесконечном промежутке.