161. Суб- и суперпараболические функции.

При решении предельной задами для уравнения теплопроводности можно применить метод, аналогичный методу верхних и нижних функций, который был нами изложен в [119]. Мы рассмотрим на плоскости область В, ограниченную сверху и снизу характеристиками а слева и справа линиями, имеющими уравнения (93), причем мы не делаем пока никаких предположений о свойствах функции кроме того, что это однозначные непрерывные функции и При определении и суперпараболических функций мы должны выбрать какую-либо основную область, для которой умеем решать предельную задачу для уравнения

при любых непрерывных предельных условиях. Для уравнения Лапласа это был круг. В качестве такой области для уравнения (111) мы выберем, например, равносторонний треугольник , основание которого параллельно оси а боковые стороны направлены в сторону возрастающего t. Решение предельной задачи для такого треуюльника может быть получено по способу, указанному в [160], и оно единственно. Это решение достигает своею наибольшего и наименьшего значения на сторонах треугольника Непрерывная в замкнутой области В функция называется субпараболической, если ее значение в любой точке лежащей внутри не больше, чем значение в этой точке тою решения уравнения (111) в любом достаточно малом треугольнике , содержащем внутри себя, которое имеет на сторонах Р те же значения, что и Суперпараболическая функция определяется аналогичным образом, но только должно быть не меньше значений решении уравнения (111) в треугольниках . Наименьшее значение суперпараболической функций и наибольшее субпараболической достигаются на границе В.

Нетрудно видеть, что если имеет внутри В непрерывные производные внутри В, то суперпараболическая функция. Действительно, пусть и — функция, удовлетворяющая уравнению (111) и совпадающая на сторонах При этом разность равна нулю на сторонах внутри . Но при этом функция должна достигать наименьшего значения на границе [151], где она равна нулю, т. е. во всем треугольнике , т. е. и в , что и требовалось доказать.

Аналогичным образом, если внутри В, то субпараболическая функция Всякое решение уравнения (111) есть одновременно и суб- и суперпараболическая функция Совершенно так же, как и в [118], можно доказать, что если - суперпараболические функции, то и - суперпараболическая функция. Обозначим через функцию, которая совпадает с вне треугольника его сторонах и равна внутри решению уравнения (111) со значениями на кон туре Р, равными . Как и в [118], можно доказать, если суперпараболическая функция, то то же можно утверждать и относительно причем в В.

Предельные значения в В задаются на нижнем основании и на боковых сторонах U. Обозначим эту часть контура В через Определение верхних и нижних функций такое же, что и для уравнения Лапласа В част ности, верхней функцией называется всякая суперпараболическая функция которая на имеет значения заданных предельных значений

Затем внутри В определяется функция как точная нижняя границу значений всех верхних функций. Можно показать, что эта функция удовле творяет уравнению Она является обобщенным решение указанной выше предельной задачи для уравнения (111), Исследование повв дения этой функции при приближении к V можно найти в работе . Петровского «О первой предельной задаче для уравнения теплопроводности» (Comp. Math. 1935, 1, № 3)