156. Применение конечных разностей.

Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности

с начальным условием

и однородными предельными условиями

причем мы будем в дальнейших формулах считать Этого всегда можно достигнуть изменением масштаба у t и Возьмем некоторый промежуток изменения t и разделим его на равных частей точками , где . В уравнении (53) положим и производную по t заменим отношением приращения функции к приращению h независимого переменного. В результате такой замены мы получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций которые являются приближенными значениями для поскольку мы производную по t заменили упомянутым выше отношением. Система дифференциальных уравнений для имеет, очевидно, вид

Принимая во внимание (54), положим а все остальные функции мы подчиняем предельным условиям (55):

Процесс вычисления сводится к следующему. Полагая в уравнении и подставляя получаем уравнение второго порядка для которое мы должны проинтегрировать при предельных условиях (57). Найдя таким образом и полагая в уравнении получаем уравнение для которое мы должны проинтегрировать при предельных условиях (57), и т. д. В дальнейшем нам придется исследовать уравнение вида

при предельных условиях

причем мы обозначили . Введем фикцию Грина оператора, стоящего в левой части уравнения (58), при предельных

условиях (59). Нетрудно проверить, что она будет иметь вид [74]

и решение уравнения (58), удовлетворяющее предельным уело виям (59), выражается формулой

Докажем лемму: Для решения уравнения (58), удовлетворяющего предельным условиям (59), имеет место оценка

Рассмотрим сначала тот случай, когда в промежутке - . Покажем, что при этом . Действительно, если бы это было не так, то должна была бы иметь внутри промежутка отрицательный минимум, и в соответствующей точке было бы а это противоречит (58) при . Неравенство следует и из (61).

Таким образом, все значения - неотрицательны, и в некоторой точке внутри промежутка [0, 1] эта функция принимает наибольшее положительное значение. В этой точке мы должны иметь и из уравнения (58) непосредственно следует , откуда и вытекает оценка . Если принимает отрицательные значения, то, пользуясь формулой (61) и принимая во внимание, что функция Грина (60), не принимает отрицательных значений, получим оценку

Правая часть написанного неравенства представляет собою решение уравнения

удовлетворяющее предельным условиям (59). Для этого решения, как мы только что доказали, имеет место оценка

В силу (63), тем более имеет место оценка (62).

Введем в рассмотрение ошибку получаемую от замены на и ошибку получаемую замены производной отношением приращения функции к приращению независимого переменного:

причем, очевидно, . Полагая в уравнении и складывая почленно полученное уравнение с (56), будем иметь уравнение

или

Если предположить, что функция имеет непрерывную вплоть до производную по то из выражения (64) для путем применения формулы конечных приращений, мы можем заключить, что для функций имеет место оценка , где не зависит от k и и стремится к нулю вместе с А. Обозначим через 6 максимум при Применяя к уравнению (65) доказанную выше лемму, получим . Суммируя это неравенство от до и принимая во внимание, что получим Это неравенство тем более будем иметь место, если суммировать от до некоторого , т. е. мы имеем

Мы видим таким образом, что ошибка стремится к нулю вместе с А. При доказательстве этого факта мы предполагали, что существует решение задачи и что эта функция имеет непрерывную вплоть до производную по

Указанное применение метода конечных разностей принадлежит Роте (Rothe Е.) и изложено в его работе rZweidimensio-nale paraboliche Randwertaufgaben als Grenzfall eindimensiona-ler Randwertaufgaben» (Math. Ann., 1929, 102). В этой работе „рассматривается более общее уравнение вида

и изложенный метод используется для доказательства существования решения.

Если мы имеем неоднородные предельные условия

то, вводя вместо и новую искомую функцию v по формуле

мы приведем предельные условия к однородным. Указанная замена функции изменит свободный член , что не играет существенной роли.

Этот метод позволил исследовать и многомерные параболические уравнения, причем не только линейные, но и некоторые классы квазилинейных уравнений (см. работу О. А. Ладыженской: Первая краевая задача для квазилинейных параболических уравнений. — ДАН СССР, 1956, 107, с. 636-639; Тр. Моск. матем. об-ва, 1958, 7, с. 149—177, и ее книгу «Краевые задачи математической физики». — М.: Наука, 1972).