19. Метод Лагранжа—Шарпи.
Этот метод дает общий прием построения полного интеграла уравнения с частными производными первого порядка при двух независимых переменных:
Постараемся подыскать второе уравнение вида
где а — произвольная постоянная, так, чтобы уравнения (154) и (155) были разрешимы относительно 
и q и чтобы после разрешения полученная система вида (148) была вполне интегрируемой. Если это нам удастся сделать, то, интегрируя полученную систему, мы введем еще одну произвольную постоянную b и таким образом получим полный интеграл уравнения (154). Условие полной интегрируемости (149) может быть записано в виде
Нам надо вычислить все частные производные, входящие в это тождество, применяя правила дифференцирования неявных функций 
и q от переменных 
, определяемых уравнениями (154) и (155). Дифференцируя соотношения (154) и (155) по и, мы получим
откуда
Совершенно аналогичным образом, дифференцируя по х и у, мы будем иметь
и условие интегрируемости (156) запишется в виде
или
Раскрывая определители и пользуясь обозначениями из [6], мы придем к следующему уравнению с частными производными для определения искомой функции Ф:
Строго говоря, это уравнение должно быть выполнено, если в нем заменить 
и q их выражениями из (154) и (155). Но мы будем требовать большего, а именно того, чтобы оно выполнялось тождественно. Соответствующая линейному однородному уравнению (158) система обыкновенных дифференциальных уравнений есть как раз система Коши (107):
Нам достаточно найти один какой-либо интеграл этой системы, такой, чтобы уравнения (154) и (155) были разрешимы относительно 
Мы знаем, что система (159) имеет очевидный интеграл 
Наличие этого интеграла может облегчить нахождение другого интеграла системы. При этом мы можем пользоваться не только указанным интегралом, но и просто соотношением 
Если уравнение (154) не содержит искомой функции и, т. е. имеет вид 
то мы можем искать интеграл также независящим от u:
Условие (157) при этом запишется в виде
или, в раскрытом виде
что приведет к разысканию интеграла системы
Выражение, стоящее в левой части формулы (160), называется обычно скобкой Пуассона функций F и Ф и обозначается символом 
. Выражение, стоящее в левой части формулы (157), называется скобкой Майера функций F и Ф и обозначается символом 
. Если мы введем условное обозначение для любой функции 
, зависящей от переменных 
именно, положим
то скобка Майера может быть записана в виде
Говорят, что две функции F и Ф находятся в инволюции, если они обращают в нуль скобку Пуассона или скобку Майера. В первом случае эти функции должны быть функциями от переменных 
, а во втором случае к этим аргументам добавляется еще и. Сущность метода Лагранжа — Шарпи состоит, таким образом, в подыскании такого интеграла системы (159) или (161), который находился бы в инволюции с F.
Отметим одно обстоятельство, которое бросается в глаза при сравнении методов Коши и Лагранжа. При применении метода Коши мы должны находить все интегралы системы (159), а в методе Лагранжа — Шарпи мы должны найти только один интеграл этой системы. Но, имея полный интеграл уравнения (154), который затем получится из метода Лагранжа — Шарпи, мы сможем вполне проинтегрировать систему (159).
