134. Дифракция электромагнитной волны.

К более сложной задаче приводит явление дифракции синусоидальном электромагнитной волны, падающей на тело с диэлектрической постоянной и коэффициентом проводимости . Рассмотрим плоскую задачу. Пусть контур тела и вне l — пустота. Обозначим через части плоскости, лежащие внутри и вне Математически задача сводится к нахождению функции удовлетворяющей уравнениям

где

— частота падающей волны и с — скорость света в пустоте Функция представляет собою в составляющую по оси Z вектора электрической

напряженности, возникшего в результате падающего возмущения функция Е есть сумма падающей волны А и волны, полученной в результате дифракции от контура так что разность (Е — А) должна удовлетворять принципу излучения. Заданная функция А должна на всей плоскости удовлетворять уравнению

Предельными условиями являются непрерывность Е и при переходе через контур

Применим формулу Грина (263) к области и функциям и

считая, что Р лежит внутри При этом мы выделяем точку Р малой окружностыо у, и оставшуюся часть обозначим через

Первое из уравнений (281) и аналогичное уравнение для функции (283) дают:

Принимая во внимание, что имеет при полярность беспредельно сжимая окружность у, мы получим

Пусть окружность с центром в начале и достаточно большим радиусом часть лежащая внутри Применяя формулу Грина к и считая, что Р находится в получим

Считая теперь, что Р находится в и применяя формулу к получим

Наконец, считая Р находящейся в и применяя формулу к получим

В формулах направления внешней нормали к контуру I противоположны То же самое имеет место в формулах (284) и (284). Складывая почленно и , а также и (284), и принимая во

внимание непрерывность Е и при переходе через контур I, мы получим одно и то же уравнение для случаев, когда Р лежит в или в

и нам остается перейти к пределу, устремляя к бесконечности. Применяя формулу Грина к кругу, ограниченному окружностью и к функциям А и G и считая, что Р находится внутри получим

и, следовательно, криволинейный интеграл, входящий в формулу (285), равен следующему выражению:

Пользуясь тем, что разность должна удовлетворять принципу излучения, мы покажем в конце следующего параграфа, что написанный интеграл должен стремиться к нулю, и формула (285) даст нам

Если считать, что Р находится в то написанное уравнение представляет собой обычное интегральное уравнение. Определяя из него причем Р принадлежит , и подставляя полученное решение в правую часть (287), полупим явное выражение для того случая, когда Р принадлежит Мы получили уравнение (287), считая, что существуем решение задачи. Строго говоря, надо произвести исследование уравнения (287) и показать, что оно имеет решение, если Р принадлежит и что это решение является и решением поставленной задачи дифракции. Это проделано в работах, которые будут указаны в конце следующего параграфа. Отметим еще, что в уравнении (287) интегрирование производится не по контуру а по всей области В.