159. Свойства решений уравнения теплопроводности.

Рассмотрим уравнение

Пусть имеется решение этого уравнения, имеющее непрерывные производные их и в некоторой точке М и ее окрестности Из уравнения (89) следует, что при этом производная непрерывна.

Окружим точку М достаточно малым прямоугольником ABCD, со сторонами, параллельными осям (рис. 15), так, чтобы в этом прямоугольнике существовало указанное выше решение . Выберем начало координат в точке А, и пусть l — длина АВ, Обозначим через значения нашего решения и на сторонах AD и ВС, и через его значения на стороне АВ. Рассмотрим сначала тот случай, когда Мы можем написать решение согласно формуле (17) в виде

где непрерывные функции определяются из интегральных уравнений (18). При этом надо иметь в виду теорему единственности для уравнения (89).

Пусть точка находится внутри ABCD. Рассмотрим, например, первый из интегралов, входящих в правую часть

формулы (90). Если мы заменим в нем на , где достаточно близко к достаточно близко к нулю, то вещественная часть будет положительной, откуда видно, что упомянутый интеграл будет равномерно сходящимся на отрезке по отношению к параметру при всех комплексных достаточно близких к и, с другой стороны, подынтегральная функция этого интеграла есть целая функция при . Отсюда следует, что величина интеграла есть голоморфная функция в окрестности всякой точки находящейся внутри и, в частности, точки М. То же можно утверждать и относительно второго из интегралов, входящих в правую часть формулы (90).

Рис. 15.

Таким образом, решения уравнения (89) суть аналитические функции переменной х.

Это утверждение не будет справедливым по отношению к переменной t. Действительно, если бы всякое решение уравнения (89) было аналитической функцией то значения функции на любой прямой, параллельной оси t и принадлежащей полуполосе, изображенной на рис. 15, вполне определялись бы, в силу принципа аналитического продолжения, теми значениями, которые имеет эта функция на отрезке упомянутой прямой, принадлежащей прямоугольнику ABCD. Но это не будет иметь места, так как значения и зависят, очевидно, от того, каким именно способом мы будем продолжать функции заданные первоначально только на отрезках AD и ВС прямых

До сих пор мы предполагали, что в промежутке . Если это не так, то мы можем продолжить эту функцию на более широкий промежуток так, чтобы она была равна нулю на концах этого промежутка, и затем продолжить ее нулем вне этого промежутка. Составим разность

Эта разность имеет нулевые значения на отрезке АВ, и к ней приложимы указанные выше рассуждения. Остается рассмотреть

Применяя теорему об интеграле, зависящем от параметра мы видим, что будет регулярной функцией в окрестности любой точки, находящейся над осью т. е. при Отметим еще, что из формулы (90) непосредственно вытекает, что функция и имеет производные всех порядков по t при

Можно дать оценку для производных от решения уравнения (89) по t. Пусть аналитично по имеет производные всех порядков по в окрестности и нечетно по Мы будем иметь разложение в ряд Маклорена:

где

Пользуясь уравнением (89), можем написать:

Если — положительное число, меньшее радиуса сходимости ряда (91), то мы имеем неравенство

где М — некоторое положительное число. Из (92) вытекает следующая оценка для производных функции

Эта оценка не гарантирует аналитичности функции Если бы мы имели более сильную оценку:

то ряд Маклорена функции был бы сходящимся, и эта функция была бы регулярной в окрестности начала.