65. Динамические условия совместности.

Вернемся к системе уравнений первого порядка (1) и положим, что поверхность (3) является характеристической поверхностью для написанной системы, причем некоторое решение и на этой поверхности имеет слабый разрыв, т. е. само u — непрерывно, и разрыв может быть лишь у производных первого порядка. Пусть то непрерывное решение с положительной стороны поверхности и то непрерывное решение с отрицательной стороны поверхности, с которыми совпадает и. Мы можем для и написать систему (1). Возьмем разность этих уравнений на самой поверхности (3). При этом члены будут непрерывными при переходе через поверхность и при вычитании сократятся. Мы придем таким образом к следующим уравнениям, которым должны удовлетворять скачки производных первого порядка:

При выводе этих условий мы существенно использовали саму систему (1), которая обычно описывает некоторый физический процесс; полученные условия для скачков называются динамическими условиями совместности. Каждая из функций имеет свой коэффициент пропорциональности в кинематических условиях совместности (14):

Подставляя эти выражения в условия (16) и принимая во внимание обозначение (5), мы получим систему m однородных уравнений первой степени для коэффициентов :

Из уравнения характеристической поверхности (6) непосредственно вытекает, что определитель этой системы равен нулю и, таким образом, мы сможем получить решение системы, отличное от нулевого. В общем случае, когда ранг таблицы коэффициентов системы (18) будет равен , общее решение этой системы определится с точностью до произвольного множителя, который не играет существенной роли при определении качественной картины разрыва.

Перейдем теперь к рассмотрению системы уравнений второго порядка (7). В данном случае решением, имеющим слабый разрыв, будет решение, в котором сама функция и ее производные первого порядка непрерывны. Совершенно так же, как и выше, мы получим динамические условия совместности для скачков производных второго порядка:

Каждая функция будет иметь свой коэффициент пропорциональности в кинематических условиях совместности:

Подставляя эти выражения в условие (19) и пользуясь обозначением (8), получим опять систему однородных уравнений для множителей определитель которой, в силу (9), равен нулю;