162. Параболические уравнения общего вида. Энергетическое неравенство.

Уравнение теплопроводности, рассмотренное нами в предыдущих пунктах, является простейшим представителем уравнений параболического типа. Канонический вид параболических уравнений с переменными коэффициентами;

причем и квадратичная форма Должна быть положительно определенной в области D изменения аргументов Переменные называются пространственными, а переменная t — временной. Для таких уравнений корректно разрешимы задача Коши и различные начально-краевые (предельные) задачи в сторону возрастания Задача Коши для (112) состоит в определении решений уравнения (112) в полупространстве

удовлетворяющих начальному условию . Начально-краевые задачи в области В пространства суть задачи на определение решений уравнения (112) в цилиндрическои области пространства (т. е. для же ), удовлетворяющих начальному условию

и одному из классических краевых (предельных) условий, первому

второму

или третьему

Здесь — граница области — единичный вектор внешней нормали к и а — известные функции, заданные на соответственно.

В предыдущих пунктах данного параграфа мы рассмотрели задачу Коши и первую начально-краевую задачу (причем

последнюю в более общей постановке, когда граница области В меняется со временем) применительно к уравнению теплопроводности. Эти рассмотрения обобщены и на случай уравнений (112), а также на широкий класс систем параболического типа. С имеющимися на данное время результатами по параболическим уравнениям и системам можно познакомиться по монографиям О А Ладыженской, В. А. Солонникова, Н. Н. Уральцевой «Линеиные и квазилинейные уравнения параболического типа», (М : Наука, 1967) и С. Д. Эйдельмана «Параболические системы» (М.: Наука, 1964), а также по работам В. А. Солонникова «О краевчх задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида» (Тр. МИАН СССР, 1965, 83) и др. Мы изложим лишь некоторые из результатов О. А Ладыженской, установленные ею в начале 50-х годов.

Начнем с вывода энергетического неравенства для первой начально-краевой задачи. Из этого неравенства следует, что эта задача поставлена корректно. Вместо (112) рассмотрим уравнение

где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до . Если дифференцируемы по то уравнение (113) может быть записано в виде (112) и наоборот. Для наших целей форма (113) предпочтительнее. Предположим, что уравнение (113) задано в области и его коэффициенты удовлетворяют в условиям

где какие-либо положительные постоянные. Пусть удовлетворяет (в ) уравнению (113) и начально-краевым условиям

и

Для дальнейшего нет необходимости считать функцию гладкой. Достаточно потребовать, она принадлежала и имела обобщенные производные из

. Для таких функций имеет смысл говорить, что они удовлетворяют условиям (117), (118) (см. об этом гл. ), и для них справедливы все проводимые ниже раесуждения. Уравнению (113) такие решения удовлетворяют для почти всех (в смысле меры Лебега) точек из Относительно функций достаточно предположить, что , а . Производные тоже можно считать обобщенными, причем постоянные не будут входить в проводимые ниже оценки.

Читатель, незнакомый с теорией обобщенных производных, - может предполагать, что все входящие в наше рассмотрение производные непрерывны в

Из (113) следует:

где — сечение области D плоскостью Преобразуем левую часть этого равенства, используя формулу интегрирования по частям и условие (118), к виду

Подставим это выражение в (119) и, воспользовавшись условиями (114) — (116), произведем следующие преобразования и оценки:

При этом мы использовали неравенство Коши — Буняковского и неравенство Коши в форме: также сокрашенное обозначение . Из (121) следует:

где . Воспользуемся теперь леммой из [56]. Для этого выбросим из (122) член Тогда указанная лемма гарантирует для оценку

Подставляя ее в (122), получим

Пусть Проинтегрируем неравенство от 0 до . В результате элементарных вычислений и оценок получим

Это и есть желаемое энергетическое неравенство для решений и задачи (113), (117), (118). Если и есть обобщенное решение, обладающее лишь свойствами, описанными на странице 511, то соотношения (122) и (123) справедливы для него не для всех t из , а для почти всех (в смысле Лебега) t из . Неравенство же (124) выполняется для него при всех . В правой части его стоят известные нам величины. Через них оцениваются для и интегралы, стоящие в левой части (124). Из этого неравенства следует такой важный вывод для задачи (113), (117), (118):

Теорема. Задача (113), (117), (118) при выполнении условий (114) — (116) может иметь не более одного обобщенного решения и, принадлежащего вместе со своими обобщенными производными

Действительно, пусть указанная задача имеет два обобщенных решения указанного класса. Тогда их разность есть такое же обобщенное решение той же задачи, но с Следовательно, для нее справедливо неравенство (124), в котором f и положены равными нулю.

Но тогда и при всех совпадают для почти всех из . (Заметим, что наш вывод справедлив также для случая, когда удовлетворяют неоднородному краевому условию: и )

Из неравенства (124) следует также непрерывная зависи. решений рассматриваемой задачи (в предположении, что они существуют) от f и в следующем смысле:

Здесь суть обобщенные решения задачи отвечающие свободным членам и начальным дан Оценка (125) следует непосредственно из неравенства (124), примененного к и которое является решением той же задачи, отвечающим

В следующем пункте мы докажем теорему о разрешимости задачи (113), (117), (118), но не для всего класса уравнений (113), а для той его части, для которой решения хорошо представляются рядами Фурье.