83. Уравнения четвертого порядка.

Понятие функции Грина и приведение задачи к интегральному уравнению может быть проделано, аналогично предыдущему, и для уравнений высшего порядка. Рассматривая колебание стержня, мы получили следующую предельную задачу: найти такие значения параметра X, при которых уравнение

при четырех однородных предельных условиях имеет решение, отличное от нуля. Если, например, стержень заделан на конце и свободен на конце мы получаем предельные условия:

Для неоднородного стержня мы получим уравнение

Функция Грина будет соответствовать статическому прогибу стержня под влиянием сосредоточенной силы. Она определяется из следующих условий: 1) она непрерывна со своими первыми двумя производными по отношению к в квадрате при она имеет непрерывные производные до четвертого порядка и удовлетворяет однородному уравнении при любых значениях из промежутка [0, l] она удовлетворяет предельным условиям; 4) на диагонали прямоугольника ее третья производная имеет скачок, определяемый условием

Если - функция с непрерывными производными до четвертого порядка, причем производная четвертого порядка может быть только кусочно-непрерывной, удовлетворяет предельным условиям (50), то из соотношения вытекает

и, наоборот, функция, определяемая последним равенством, имеет непрерывные производные до четвертого порядка и удовлетворяет предельным условиям и уравнению если непрерывна на . Таким образом, предельная задача для уравнения (49) приводится к интегральному уравнению

а для уравнения (51) — к интегральному уравнению

В данном случае собственные функции будут, как и раньше, образовывать замкнутую систему, и всякая функция, удовлетворяющая предельным условиям и имеющая непрерывные производные до четвертого порядка, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям. Совершенно так же, как и в [78], можно показать, что все собственные значения положительны и, следовательно, по теореме Мерсера, мы имеем разложение самого ядра по собственным функциям.

Построим фактически функцию Грина для случая стержня, заделанного на обоих концах, т. е. при предельных условиях причем мы считаем Общий интеграл уравнения о представляет собою полином третьей степени с произвольными коэффициентами Мы можем легко найти решения, удовлетворяющие предельным условиям только на левом и только на правом конце Это будут решения

Произвольные постоянные определятся из четырех условий, а именно — из условия непрерывности функции и ее производных до второго порядка при и разрыва (52) производной третьего порядка Проделывая элементарные вычисления, мы придем к следующему окончательному выражению для функции Грина в рассматриваемом случае

При надо поменять местами