88. Экстремальные свойства собственных значений и функций.

Вернемся к предельной задаче для уравнения

или, что то же, для уравнения

Б общем случае уравнения (1) мы можем привести его к виду (93), вводя вместо новую независимую переменную:

Уравнение (1) при этом перепишется в виде

и, деля обе части на мы получаем уравнение вида (93). При этом преобразовании существенно предположение, что обращается в нуль в замкнутом промежутке таем, что в уравнении в промежутке и положим, что предельные условия имеют вид

При этом, как мы видели [78], собственные значения выражаются через соответствующие собственные функции по формуле

и может существовать лишь конечное число отрицательных собственных значений, так что можно считать, что собственные значения расположены в возрастающем порядке, т. е.

Поставленная предельная задача равносильна интегральному уравнению

где - функция Грина оператора при предельных условиях (95). Мы знаем [IV; 42], что первое собственное значение равно наименьшему значению интеграла

в классе непрерывных функций удовлетворяющих условию

Но интеграл

при любом выборе непрерывной функции дает функцию с непрерывными производными до второго порядка, удовлетворяющую предельным условиям (95). Наоборот, всякая функция с указанными только что свойствами выражается интегралом (99) при соответствующем выборе непрерывной функции

Мы можем, таким образом, согласно (97), (98) и (99) утверждать, что есть наименьшее значение интеграла

при выполнении условия:

в классе функций имеющих непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяющих предельным условиям (95) Производя в интеграле (100) интегрирование по частям, мы видим, что есть наименьшее значение интеграла

при условии (101) в только что указанном классе функций . Первая собственная функция дает при этом, в силу (96), интегралу (102) наименьшее значение . Переходим ко

второму собственному значению Мы знаем, что это есть наименьшее значение интеграла (97), если к условию (98) добавить еще условие

Если определить формулой (99), то

и, следовательно, условие (103) равносильно условию

Таким образом, есть наименьшее значение интеграла (102) в классе функций имеющих непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяющих условиям (95), при дополнительных условиях (101) и (104).

Вообще, собственное значение является наименьшим значением интеграла (102) в классе функций имеющих непрерывные производные до второго порядка, удовлетворяющих предельным условиям (95) и следующим дополнительным условиям:

Покажем, что уравнение (93) есть уравнение Эйлера, выражающее необходимое условие экстремума интеграла (102) при дополнительном условии (101). Действительно мы должны составить функцию

и для нее написать уравнение Эйлера

которое действительно совпадает с уравнением (93). Рассмотрим теперь экстремум интеграла (102) при двух дополнительных условиях, а именно, условиях (101) и (104). В данном случае мы должны составитьвспомогательную функцию

и уравнение Эйлера для этой функции будет иметь вид

Покажем, что постоянная должна равняться нулю, т. е. что мы придем опять к уравнению (93). Для этого напишем уравнение (93) для первой собственной функции:

Умножим это последнее уравнение на у, уравнение вычтем почленно полученные уравнения и проинтегрируем полученное таким образом уравнение по основному промежутку. Принимая во внимание условие ортогональности (104) и нормированность первой собственной функции, мы придем к следующему соотношению:

Производя интегрирование по частям и пользуясь предельными условиями, мы убедимся без труда в том, что написанный интеграл равен нулю, а отсюда непосредственно вытекает что мы и хотели доказать. Вообще, если мы напишем уравнение-Эйлера, выражающее необходимое условие экстремума интеграла (102) при дополнительных условиях (105), то придем, как и выше, к уравнению (93).

До сих пор мы рассматривали случай Совершенно аналогичные результаты будут иметь место и в общем случае, причем мы считаем . В этом общем случае дополнительные условия (105) надо написать в виде

Чтобы удостовериться в этом, достаточно в общем уравнении (1) совершить замену независимого переменного (94). При этом мы получим уравнение вида (93), для которого результат нами уже доказан. Возвращаясь к прежней независимой переменной, мы получим интеграл (102) и дополнительные условия . Отметим еще, что все изложенное выше остается справедливым и для предельных условий (2).

При нахождении последовательных минимумов интеграла (102) можно ставить эту задачу в классе функций, имеющих не две, а только одну непрерывную в промежутке производную. Можно показать, что в этой более широкой постановке последовательные минимумы осуществляются по-прежнему функциями

Рассмотрим уравнение колебания струны:

где — линейная плотность струны и — натяжение. Мы имеем следующие выражения для кинетической и потенциальной энергии:

В случае синусоидального режима вида мы получим для уравнение

при предельных условиях если струна закреплена на концах, а кинетическая и потенциальная энергии будут выражаться формулами

Первое собственное значение этой задачи сводится к разысканию наименьшей величины интеграла