111. Предельные задачи на плоскости.
Задачи Дирихле и Неймана на плоскости рассматриваются совершенно так же, как и в [108]. Решение задачи Дирихле ищется в виде потенциала 
двойного слоя: 
и задачи Неймана в виде потенциала простого слоя:
Для плотности получаются интегральные уравнения:
где
Уравнение (146) при 
соответствует внутренней задаче Дирихле, а при 
внешней задаче Дирихле. Уравнение (147) при 
соответствует внешней задаче Неймана, а при 
внутренней задаче Неймана. Во всех случаях 
функция, входящая в предельное условие.
Уравнение (146) можно записать в виде
где s и 
длины дуг 
контура 
отсчитываемые от какой-либо фиксированной точки L в определенном направлении, а 
длина контура 
Аналогично записываем и уравнение (147), При сделанных в [101] предположениях о контуре l ядра 
и 
- непрерывные ядра.
Как и в 
не есть собственное значение, а 
собственное значение первого ранга При этом для уравнения 
собственная функция есть произвольная постоянная, а для уравнения (147) это — электростатическая плотность 
при которой потенциал простого слоя (145) равен постоянной на l и внутри l.
Решение внутренних задач Дирихле и Неймана получается так же, как и в трехмерном случае. Остановимся на внешних задачах. Решение внешней задачи Неймана связано с уравнением 
при 
При этом функция 
должна удовлетворять условию [105]:
Интегрируя обе части (147) при 
по точке 
получим
и, следовательно, функция (145), где 
- решение уравнения (147) при 
будет гармонической функцией, регулярной на бесконечности (105), и, тем самым, будет давать решение внешней задачи Неймана.
Переходим к внешней задаче Дирихле. Если 
удовлетворяет условию
то подстановка решения уравнения (146) при 
в формулу (144) дает решение задачи.
Если это условие не выполнено, то берем такую постоянную а, чтобы иметь (ср. [109])
при предельных значениях 
и сумма 
будет искомым решением задачи с предельными значениями f(N). Добавление постоянной связано с тем, что формула (144) даег гармоническую функцию, равную нулю на бесконечности, а в плоском случае решение внешней задачи не требует обращения в нуль на бесконечности.
