98. Нормальная производная потенциала простого слоя (продолжение).

Для последующего нам важно доказать, что нормальная производная стремится к своим пределам

равномерно для всей поверхности S при стремлении М к по нормали. Для этого сначала покажем равномерное стремление к пределу интеграла, входящего в формулу (51). Обозначим через величину этого интеграла. Как мы уже упоминали, эта функция имеет смысл, если М совпадает с . Нам надо показать, что при любом заданном положительном существует такое положительное , не зависящее от положения точки на , что , если причем М находится на нормали к в точке

Фиксируем таким, чтобы иметь и представим (о (М) в виде где

При этом, в силу (53), мы имеем при любом положении М на нормали к S в точке . Далее,

откуда

Принимая во внимание (52), получим

Для точек имеем . Кроме того, при любом положении точек N и на S величины по абсолютной величине не превышают диаметра поверхности S, т. е. наибольшего расстояния между точками S Далее мы имеем и

и, согласно формуле (56), получаем

где определенная постоянная, не зависящая от положения . Она зависит, конечно, от выбора Принимая во внимание выражение получаем

Если взять

то мы будем иметь в силу получим . За искомое число можно взять, таким образом, правую часть неравенства (57),

Мы доказали, что разность

стремится к своему предельному значению, при стремлении М к по нормали, равномерно относительно положения точки на . С другой стороны, потенциал двойного слоя является функцией; непрерывной вплоть до , и, следовательно, также равномерно стремится к своим предельным значениям на Отсюда следует, что и нормальная производная стремится к своим предельным значениям (49) равномерно на S. Следуя А. М. Ляпунову, будем говорить, что гармоническая внутри или вне S функция имеет правильную нормальную производную, если при стремлении М к по нормали к S ее нормальная производная стремится к своим предельным значениям равномерно по отношению к точке лежащей на S. Мы можем, таким образом, утверждать:

Теорема. Потенциал простого слоя с непрерывной плотностью имеет правильные нормальные производные как внутри, так и вне

Фиксируя положительное значение причем М находится или внутри или вне , мы можем считать, что значение нормальной производной есть функция зависящая еще от параметра причем эта функция есть непрерывная функция ибо имеет внутри и вне непрерывные производные, и направление на меняется непрерывно.

Поскольку при стремление к пределу равномерно, мы можем утверждать, что и предельные значения (49) суть непрерывные функции а отсюда следует, что интеграл, входящий в правые части формул (49), представляет собою непрерывную функцию на S. Этот интеграл называется прямым значением нормальной производной потенциала простого слоя на S.