131. Теорема единственности.
При наличии принципа излучения может быть доказана теорема единственности, т. е. если функция v удовлетворяет вне некоторого замкнутого контура l уравнению (252), на бесконечности принципу излучения и на контуре l однородному предельному условию, например условию 
или 
она тоокдественно равна нулю.
Применим формулу
к области 
ограниченной изнутри контуром 
и извне окружностью 
с центром в некоторой фиксированной точке и достаточно большим радиусом, и положим 
, где 
комплексно сопряженная с v. Считаем, что v непрерывна вплоть до l и имеет правильную нормальную производную. В силу (252) двойной интеграл будет равен нулю, и, в силу предельного условия, интеграл по 
также будет равен нулю. Останется интеграл по 
и на этом контуре направление 
совпадает с направлением 
. Условие (257) дает нам возможность заменить
и таким образом мы приходим к равенству
Так как 
ограничены при 
то последние два слагаемых стремятся к нулю, и, вводя полярный угол 
на
окружности 
мы имеем
Применим теперь формулу Грина к решению v и к первому из решений (262). Двойной интеграл по-прежнему сократится и останутся интегралы по l и 
а потому величина интеграла по 
не зависит от 
. Оба взятые решения удовлетворяют принципу излучения, причем решения (262) удовлетворяют условию (257) в усиленной форме, как и решение 
Пользуясь, как и выше, условием (257), мы получим, что интеграл по 
стремится к нулю, и поскольку его величина не зависит от 
, он просто равен нулю, т. е.
Если положить
то это дает
откуда 
, где 
постоянная, причем 
.
Совершенно аналогично получим для
выражения 
, где 
тоже постоянная.
Уравнение замкнутости 
и формула (264) показывают, что при фиксированном 
Но из асимптотического выражения 
следует, что 
остается по модулю большим некоторого положительного числа при больших 
, откуда следует, что 
а отсюда вытекает, в силу уравнения замкнутости, что v равно нулю на окружностях 
Если l есть окружность, то, взяв за 
окружности, концентрические с 
мы получим, что v тождественно рявно нулю вне 
что и требовалось доказать, В случае общего контура
предыдущие рассуждения показывают, что v обращается в нуль в окрестности бесконечно далекой точки. Дальше мы покажем [132], что 
должна быть, как и для уравнения Лапласа, аналитической функцией, и, согласно принципу аналитического продолжения, из обращения v в нуль в окрестности бесконечно далекой точки следует, что 
везде вне l. Совершенно аналогичным образом теорема единственности доказывается и в трехмерном случае.
