43. Распространение поверхности разрыва.

Положим, что некоторое решение и уравнения (48) имеет на поверхности

разрыв первого рода для производных второго порядка, причем само решение и его производные первого порядка остаются непрерывными при переходе через поверхность (71). Будем рассматривать упомянутое решение и с двух разных сторон поверхности (71), Как два различных решения уравнения (48). Эти решения имеют на этой поверхности одинаковые данные Коши, но различные значениядля производных второго порядка, и мы можем поэтому утверждать, что поверхность (71) должна быгь характеристической поверхностью уравнения (67). К тому же самому результату мы пришли бы, если бы предположили, что не только само решение и и его частные производные первого порядка, но и частные производные второго порядка, остаются непрерывными при переходе через поверхность (71), а разрыв имеет место лишь для производных порядка выше второго. Вообще говорят, что решение уравнения второго порядка (67) имеет на поверхности (71) слабый разрыв, если при переходе через эту поверхность и и его первые производные остаются непрерывными, а некоторые производные порядка выше первого имеют на поверхности (71) разрыв первого рода. Из предыдущих рассуждений следует, что поверхностью слабого разрыва может быть только характеристическая поверхность,

Выделяя по-прежнему независимую переменную мы, вместо (71), будем иметь движущуюся поверхность слабого разрыва в пространстве

Определим скорость перемещения этой поверхности. Возьмем некоторую точку М на поверхности (72) и проведем из нее нормаль к поверхности в ту сторону, где . На этом направлении нормали возьмем отрезок от точки М до точки пересечения с поверхностью, соответствующей моменту времени t. Предел отношения при называется обычно скоростью перемещения поверхности (72). Вводя обозначение:

мы будем иметь следующие выражения для направляющих косинусов упомянутой нормали:

Продифференцируем соотношение (72):

Величину можно считать проекцией бесконечно малого перемещения вдоль нормали на координатную ось, и мы можем, следовательно, написать:

Дринимая во внимание (74), мы получаем следующее выражение для скорости перемещения поверхности (72) :

В случае мы имеем перемещающуюся линию на плоскости в случае мы имеем поверхность, двигающуюся в трехмерном пространстве

Рассмотрим в качестве примера волновое уравнение при

Основное уравнение (53) имеет вид

и оно показывает, что всякая слабая прерывность должна двигаться вдоль оси со скоростью . На плоскости характеристиками будут два семейства прямых . Рассмотрим еще уравнение

которое встречается при рассмотрении движения сжимаемой жидкости в одномерном случае. Условие (53) запишется в виде

Положим, что на оси с одной стороны от прерывности мы имеем покой. Тогда с этой стороны от прерывности и в самой точке прерывности мы имеем Предыдущее условие записывается

в виде и скорость распространения прерывности определяется формулой

Перейдем теперь к рассмотрению волнового уравнения с тремя независимыми переменными:

Уравнение (53) запишется при этом в виде

или, пользуясь формулой (73), мы можем записать последнее уравнение в виде и это уравнение первого порядка выражает тот факт, что всякая характеристическая линия на плоскости должна двигаться со скоростью а. Совершенно аналогичный результат мы получим и для характеристической поверхности в трехмерном пространстве если будем исходить из волнового уравнения

Заметим, что коэффициент мы можем предполагать зависящим от координат