41. Бихарактеристики.

Уравнение (53) должно быть выполнено в силу (50). Потребуем, чтобы это уравнение выполнялось тождественно относительно . При этом уравнение (53) будет представлять собою обычное дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка, и всякое его решение, оушчное от постоянной, будет давать не одну характеристику, а целое семейство характеристик:

где С — произвольная постоянная. Наоборот, для того, чтобы последнее уравнение определяло семейство характеристик при произвольном постоянном С, необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла уравнению (53). Совершенно так же, как и выше [2], можно показать, что всякую характеристику можно включить в семейство вида (54) и что таким образом решения уравнения (53) дадут нам все характеристики.

В уравнениях математической физики одна из независимых переменных, а именно время, играет исключительную роль по сравнению с остальными переменными, которые обычно дают пространственные координаты. В дальнейшем, мы будем считать,

что такой исключительной независимой переменной является переменная и будем обозначать Для остальных переменных мы введем обозначение т. е. будем считать .

Напишем уравнение поверхности (50) в разрешенном относительно t виде: и будем считать, что коэффициенты не зависят от

Подставляя левую часть уравнения в уравнение (53), мы получим следующееуравнение для функции :

Это уравнение должно быть выполнено, строго говоря, в силу . Но оно вовсе не содержит буквы t, и, следовательно, мы можем утверждать, что оно должно быть выполнено тождественно. Возвращаясь к общему случаю, рассмотрим уравнение (53) и напишем соответствующую этому уравнению первого по рядка систему Коши. Уравнение (53) не содержит самой функции , и поэтому в соответствующей системе Коши мы не будем выписывать того отношения, которое содержит Таким образом, мы получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

где s — некоторый вспомогательный параметр. Возьмем некоторое семейство характеристических гиперповерхностей и положим . При этом выразятся через и, подставляя эти выражения в правые части уравнения получим систему первого порядка для . Если взять какое-нибудь решение этой системы и подставить в упомянутые выше выражения через то нетрудно проверить, что полученные функции будут удовлетворять уравнениям . Действительно,

Заменим в уравнении (53) значок k на и продифференцируем обе части по

В силу последние две суммы равны между собой, и, пользуясь последним тождеством, мы можем переписать формулу (57) в виде

что и совпадает с уравнением (56 г). Заметим, что равенство (54) представляет собою при этом интеграл системы Действительно,

и последняя сумма равна тождественно нулю, в силу (53). Те линии пространства с координатами которые получаются в результате интегрирования системы в которой положено называются бихарактеристиками, соответствующими системе характеристических поверхностей.

Если при интегрировании системы за начальные значения мы возьмем точку, лежащую на некоторой гиперповерхности то вся соответствующая бихарактеристика будет лежать на упомянутой гиперповерхности, т. е. всякая характеристическая поверхность уравнения (48) может быть образована бихарактеристиками. Укажем теперь те условия, при которых решения системы образуют характеристическую гиперповерхность. Поверхность (54) представляет собою -мерное многообразие в . В уравнение бихарактеристики входит параметр s, и, следовательно, для образования характеристической гиперповерхности (54) надо взять семейство бихарактеристик, зависящее от параметров. Будем считать, что начальные значения переменных, входящих в систему зависят от параметров Повторяя рассуждения из [8], нетрудно убедиться в том, что для того чтобы полученное семейство бихарактеристик давало характеристическую гиперповерхность, необходимо и достаточно.

чтобы указанные выше начальные значения удовлетворяли следующим соотношениям [1-2]:

где — результат подстановки в выражения При этом предполагаем, что крайней мере один из функциональных определителей порядка от переменных по отличен от нуля.

Все высказанные результаты вытекают непосредственно из метода Коши интегрирования уравнения первого порядка [12]. Несущественным осложнением в данном случае является тот факт, что уравнение интегральной поверхности ищется в неявной форме и, в связи с этим, система Коши (56), не содержит самой функции

Основную роль в математической физике играет особая интегральная поверхность уравнения (53), а именно, так называемый характеристический коноид этого уравнения. Эта характеристическая поверхность получится указанным выше методом, если мы будем считать фиксированными, т. е. независящими от параметров (вершина коноида), и подчиним условию (58). Отметим, что из этого уравнения величин определяются как функции параметров. В силу однородности уравнения (58), один из параметров входит множителем в . Но нетрудно проверить, что уравнения и не меняются, если заменим s на и на где не зависит от s. Таким образом параметр, входящий множителем при является излишним, так как он все равно войдет через s. Поэтому одну из величин мы можем считать, например, равной единице.

Если коэффициенты суть постоянные, то уравнения показывают, что должны быть постоянными, а из уравнений мы видим, что будут полиномами первой степени от , т. е. если постоянные, то бихарактеристики суть прямые линии в

Рассмотрим один важный частный случай. Введем указанное выше обозначение и будем рассматривать уравнение специального вида

где и коэффициенты, не содержат t, т. е. зависят только от Будем считать, что квадратичнаяформа

определенно положительна при всех значениях Уравнение (53) в данном случае будет иметь вид

Будем искать характеристическую гиперповерхность в виде, решенном относительно t:

При этом и для функции и мы получаем уравнение первого порядка

или

Соответствующая этому уравнению система Коши будет

Если мы возьмем некоторую конкретную характеристическую гиперповерхность (61), то из (63) и последней системы следует, что образующие ее бихарактеристики должны удовлетворять следующей системе:

Мы можем рассматривать поверхность (61) не как неподвижную поверхность в n-мерном пространстве с координатами а как поверхность, движущуюся с течением времени в m-мерном пространстве с координатами

При этом решения системы (64) мы будем рассматривать, как линии X в пространстве определяемые параметрически при помощи параметра t (время). При этом, конечно, в пространстве

линия К не будет уже находиться на движущейся поверхности (61).

Если, например, в пространстве с координатами мы имели конус

то на плоскости мы должны его рассматривать как окружность с центром в начале и с переменным радиусом . Если прямолинейные образующие этого конуса были бихарактеристиками, то линии в плоскости представляют собою пучок прямых, выходящих из начала. Приведенный пример, как мы увидим дальше, соответствует тому случаю, когда данное уравнение есть волновое уравнение