Главная > Курс высшей математики, Т.4. Ч.2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

105. Внешние задачи в случае плоскости.

Функцию гармоническую в окрестности бесконечно далекой точки, мы назовем регулярной в бесконечно далекой точке, если при стремлении точки М к бесконечности функция имеет конечный предел. Выясним смысл этого определения. Построим в окрестности бесконечно далекой точки функцию гармонически сопряженную с . При обходе бесконечно далекой точки против часовой стрелки функция может приобрести постоянное слагаемое, которое мы обозначим через у. Функция комплексного переменного

будет однозначной и регулярной в окрестности бесконечно далекой точки и, следовательно, должна разлагаться в этой окрестности в ряд Лорана по целым степеням . Покажем, что в этом разложении вовсе нет членов с положительными степенями . Действительно, если бы таких членов было бы бесконечное множество, то функция при могла бы принимать значения, сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу а на самом деле вещественная часть функции, т. е. или стремится к бесконечности, если так как, по условию, имеет конечный предел, или имеет конечный предел при если

Если бы членов с положительными степенями было конечное число, т. е. если бы

то мы имели бы

( вещественной части).

Если разделить обе части равенства на и устремить к бесконечности при фиксированном то левая часть будет очевидно стремиться к нулю, а правая будет иметь предел зависящий от который не всегда равен нулю. Мы придем, таким образом, к противоречию и, следовательно, в разложении будеттолько свободный член и члены с отрицательными степенями:

При функция имеет конечный и определенный предел и отсюда непосредственно вытекает, что постоянная

у должна быть равна нулю, т. е. если регулярна в бесконечно далекой точке и сопряженная функция, то имеет в окрестности бесконечно далекой точки разложение (105). Из предыдущих рассуждений непосредственно вытекает, что для получения этого результата достаточно предположить, что просто ограничена по абсолютной величине в окрестности бесконечно далекой точки. Отсюда уже будет вытекать разложение (105) и, тем самым, существование конечного предела при стремлении точки М к бесконечности.

Внешняя задача Дирихле сводится к нахождению функцин гармонической вне замкнутого контура l, регулярной бесконечности и принимающей на контуре заданные значения Пусть — некоторая точка, находящаяся внутри Совершим конформное преобразование плоскости

Часть плоскости, находящаяся вне l, перейдет в некоторую ограниченную область В, гармонические функции перейдут в гармонические функции , точка перейдет в будет регулярной функцией от w при Формулированная выше внешняя задача Дирихле перейдет во внутреннюю задачу для преобразованной области, и мы, очевидно, можем иметь только одно решение поставленной задачи.

Пользуясь разложением (105), дифференцируя его по z и принимая во внимание, что

мы можем утверждать, что если гармоническая функция регулярна в бесконечно далекой точке, то произведения и где остаются ограниченными при беспредельном удалении точки М. Отсюда непосредственно вытекает, что и произведение где m — любое направление, которое может и изменяться при перемещении точки М, остается ограниченным при беспредельном удалении точки М. Если В есть часть плоскости, находящаяся вне замкнутого контура функции, гармонические в В, непрерывные в бесконечно далекой точке и непрерывные вместе с производными первого порядка вплоть до контура, то имеют место формулы

где n — направление нормали к внешней по отношению к области В. Формулы доказываются совершенно так же, как это делалось в [102] для трехмерного случая. Достаточно иметь в виду, что на окружности С с центром в фиксированной точке О и радиусом R произведения v и и имеют оценку а длина окружности . Как и в [102], формулы (106) и (107) остаются справедливыми, если вместо непрерывности производных первого порядка вплоть до потребовать существования правильных нормальных производных .

Переходим к внешней задаче Неймана, когда на l имеется предельное условие

при стремлении М к N по нормали, и сохраняется требование регулярности функции на бесконечности. Пусть решение задачи существует, и предположим, что имеет правильную нормальную производную на Проводя окружность С достаточно большого радиуса R и применяя формулу (107) к для области, ограниченной l и С, получим

Но на С производная имеет порядок откуда следует, что интеграл по С стремится к нулю при и мы получаем в пределе, в силу (108),

Это необходимое условие мы получили и для внутренней задачи Неймана. Пользуясь формулой (106), можно доказать единственность решения внешней задачи Неймана при условии правильности нормальной производной . В трехмерном пространстве мы будем иметь условия, аналогичного (110) для разрешимости внешней задачи Неймана.

Отметим тот факт, что основное сингулярное решение не будет регулярным в бесконечно далекой точке. При оно стремится к . Второе сингулярное решение , соответствующее диполю, уже будет регулярным в бесконечно далекой точке, и оно обращается в этой точке в нуль, В трехмерном

пространстве не только потенциал диполя, но и основное сингулярное решение у обращается в бесконечно далекой точке в нуль.

Потенциал простого слоя (81), дающий гармоническую функцию вне не будет, вообще говоря, регулярным в бесконечно далекой точке. Если общий заряд равен нулю, т. е. если

то в этом частном случае потенциал (81) будет регулярным. Действительно, пусть R — расстояние точки М до начала. Вводя в интеграл (111) множитель не зависящий от переменной точки интегрирования N, мы можем написать потенциал (81) в виде

и при беспредельном удалении точки М выражение стремится к нулю равномерно по отношению к точкам лежащим на l. Таким образом, мы видим, что потенциал действительно будет регулярным в бесконечно далекой точке и равным нулю.

Докажем еще одно свойство гармонических функций. Положим, что гармоническая функция в некотором круге, центр которого примем за начало координат кроме, может быть, самого начала, и ограничена по абсолютной величине в этом круге. Покажем, что существует предел при и если принять этот предел за значение , то будет гармонической во всем круге, включая начало. Чтобы убедиться в этом, достаточно проделать те рассуждения, которые привели нас к разложению (105), заменив бесконечно далекую точку началом. Вместо (105) будем иметь

откуда и следует наше утверждение.

1
Оглавление
email@scask.ru