155. Применение преобразования Лапласа.

Как мы уже упоминали, при решении системы интегральных уравнений (18) можно применить преобразование Лапласа Это преобразование можно непосредственно применить к самому дифференциальному уравнению (о). В данном случае мы будем применять одностороннее преобразование

Пусть мы имеем предельные условия (6) и однородное начальное условие (10). Вместо вводим в качестве искомой функции ее преобразование по Лапласу:

Применим интегрирование по частям, причем будем считать, что произведение обращается в нуль при Принимая во внимание однородное начальное условие (16), получим

Меняя масштаб для t или можем считать, что в уравнении . Применяя к обеим частям уравнения преобразование Лапласа и считая, что в формуле (33) мы можем дифференцировать по под знаком интеграла, получим для уравнение, в которое будет входить производная только по

Применяя преобразование Лаплдса и к уравнениям (6), получим предела условия для

где

Решение уравнения (34) при предельных условиях (35) без труда находится в явном виде:

где

Применяя к функции (37) преобразование, обратное преобразованию (32), получаем искомую функцию Оказывается, что эта функция может быть просто выражена через функции входящие в предельные условия, и через функцию Якоби , причем при построении этой последней функции мы принимаем . Эту фукцию Якоби мы обозначим через

В основе дальнейших вычислений лежит следующая формула:

где для краткости письма мы через обозначили написанную дробь. Формулы (38) можно переписать в виде

Мы имеем, кроме того, очевидно

т. е. при преобразовании (32) переход от равносилен переходу от . Принимая во внимание это обстоятельство, а также формулы (40) и (41), и производя дифференцирование по v под знаком интеграла, получим

Применяя теперь к функции (37) преобразование и принимая во внимание формулы (36) и теорему о складке, получим окончательно

где мы ввели следующее обозначение

Можно выразить через функцию функцию Грина, о которой мы говорили в предыдущем параграфе. Заметим. прежде всего, что формула (40) Имеет место лишь для промежутка . Если , и, принимая во внимание периодичность можем написать:

т. е.

Возьмем теперь неоднородное уравнение

с однородным начальным и однородными предельными условиями. Вводя функцию

и применяя к уравнению (44) преобразование Лапласа, получим

и предельные условия

Для этих предельных условий функция Грина оператора, стоящего в левой части уравнения (46), как нетрудно проверить, будет

и через эту функцию Грина решение уравнения (46), удовлетворяющее предельным условиям (47), выражается в виде

Для тога чтобы совершить преобразование представим функцию (48) в виде

Принимая во внимание, что если , то и, пользуясь формулами (40) и (43), мы получим

Из теоремы о складке следует:

и, следовательно, согласно формуле (49)

Сравнивая эту формулу с формулой (31), мы видим, что функция определяемая согласно (51) через функцию есть функция Грина уравнения теплопроводности, о которой мы говорили в предыдущем параграфе.

Наметим теперь доказательство формулы (40), на которой были основаны все предыдущие вычисления. Мы имели формулу

которая справедлива для промежутка Полагая в ней и, мы получим

и написанное выше неравенство для дает другой стороны, мы имеем разложение в ряд Фурье :

Написанный ряд сходится равномерно относительно t во всяком конечном промежутке , лежащем правее нуля. Считая вещественную часть s положительной и интегрируя по частям, получим

Наличие в знаменателе дает равномерную относительно ей Т сходимость этого ряда, и, переходя к пределу при мы получим

что и дает формулу (40).

Подробнее изложение применения преобразования Лапласа к задачам теплопроводности можно найти в работах Г. Дёча (Doetsch). — Math. Z, 22, 25, 26, 28 и в его книге «Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования». — М.: Наука, 1971,