124. Функция Грина в случае плоскости.

Рассмотрение функции Грина на плоскости представляет некоторые особенности по сравнению со случаем пространства. Мы будем рассматривать функцию Грина для ограниченной области с контуром при предельном условии (189) на

Определим, как и в [123], функцию на плоскости:

Построим, как это мы делали в [123], потенциал простого слоя;

где есть расстояние от Р до переменной точки N на . Предельные значения его нормальной производной на со стороны равны

где — направление MQ и — направление нормали к в точке М, внешней по отношению к замкнутому контуру Составим теперь гармоническую в функцию

имеющую правильную нормальную производную на равную нулю. Проведем внутри какой-либо замкнутый обходящий вокруг контур , и применим формулу Грина при к области, ограниченной . Мы имеем

причем в обоих случаях — есть внешняя нормаль по отношению к замкнутому контуру. Отсюда, в силу того, что

Но

где есть направление направление . Интегрируя по l, меняя порядок интегрирования и принимая во внимание, что точки Q и N находятся внутри получим, в силу (83),

Мы можем теперь переписать (209) в виде

При беспредельном удалении точки Р отношение равномерно стремится к единице, т. е. при любом заданном положительном существует такое положительное число М, что при любом положении N на если только

Таким образом, функция (211), гармоническая в имеет на l правильную нормальную производную, равную нулю, и стремится к нулю при беспредельном удалении точки Р. К такой функции применима формула

из которой следует, что т. е.

Отсюда, как и в [123], непосредственно следует, что потенциал простого слоя (207) совпадает с функцией определенной равенством (206), на всей плоскости, и можно утверждать, что имеет на l правильную нормальную производную. Далее, как и в [123], можно утверждать, что имеет в непрерывные производные первого порядка вплоть до L. Доказательство симметричности проводится совершенно так же, как и в [123]. Для круга радиуса R функция Грина имеет вид

при тех же обозначениях, что и в [123]. Это приводит к следующим оценкам:

Для решения задачи Дирихле в имеет место формула, аналогичная

Функция Грина оператора Лапласа для плоской односвязной области при предельном условии (189) тесно связана с функцией, совершающей конформное преобразование упомянутой об ласти на круг Пусть В — односвязная область с контуром некоторая внутренняя точка этой области. Пусть, далее, - функция, совершающая кон формное преобразование В на единичный круг, причем т. е. точка переходит в центр упомянутого круга. При не которых условиях гладкости контура непрерывна вплотт до окружности и преобразует ее в контур

Из однолистности преобразования вытекает, что имеет в точке простой корень:

Образуем функцию

Нетрудно проверить, что это и будет функция Грина для области В с полюсом . Действительно, представляет собою вещественную часть и, следовательно, удовлетворяет уравнению Лапласа. Согласно (214), бесконечная часть функции (215) в точке будет и, наконец контур области В переходит в окружность единичного круга т. е. на контуре а функция (215) при этом обращается в нуль.

Обозначим через функцию, гармонически сопряженную с (215). Мы имеем

и, следовательно, можем выразить через функцию Грина и сопряженную с ней функцию:

Функция Н определена с точностью до постоянного слагаемого, и тем самым в правой части последней формулы мы имеем произвольный постоянный множитель, по модулю равный единице, что соответствует произвольному повороту единичного круга вокруг начала.

Положим, что контур области В обладает следующим свойством: угол образованный касательной к каким-либо фиксированным направлением, как функция длины дуги удовлетворяет условию Липшица

где b и — положительные постоянные. Доказывается, что при этом производная непрерывна вплоть до и существуют такие две положительные постоянные и М, что

Эти постоянные зависят, конечно, от выбора той точки которая переходит в начало координат на плоскости w. Зафиксируем эту точку и будем теперь строить общее конформное преобразование В на круг при условии, что в начало координат переходит какая-либо точка , лежащая внутри В. Для этого надо совершить сначала конформное преобразование а затем преобразовать круг 1 в себя так, чтобы точка перешла в начало координат. Это последнее преобразование есть дробно-линейное преобразование, и окончательно мы получаем, отбрасывая постоянный множитель с модулем, равным единице,

где, как всегда, знак вещественной части и - функция Грина области В с полюсом в точке z. Дифференцируя по где за можно принять любое направление, получим

или, заменяя вещественную часть модулем,

и, принимая во внимание, что получим

Пусть функция, обратная функции Она определена в круге . Из (218) следует, что и мы получаем

причем указанное интегрирование можно производить по прямолинейному отрезку. Последнее неравенство дает и, принимая во внимание получаем, в силу последнего неравенства

где — расстояние точек z и . Таким образом, при сделанном относительно контура I предположении, мы получаем оценку производной функции Грира по любому направлению, зависящую только от расстояния .

Если область В — многосвязна, и каждый из ограничивающих ее замкну контуров удоилетворяет указанному выше условию, то можно и в этом случае получить оценку вида (219). Указанное выше доказательство оценки (219), а также и доказательство для многосвязной области, которое я не привожу, было мне сообщено Г. М. Голузиным.