104. Постановка внутренних предельных задач для уравнения Лапласа.

Пусть конечная область трехмерного пространства, ограниченная поверхностью S Внутренняя задача Дирихле состоит, как мы знаем, в разыскании функции гармонической внутри непрерывной в замкнутой области и принимающей на S заданные значения, которые представляют собою непрерывную на S функцию Решение задачи может быть только одно [II; 204]. В дальнейшем, при некоторых предположениях о границе S, мы дадим доказательство существования решения. В случае плоскости вопрос обстоит совершенно так же.

В задаче Неймана на границе задается не сама функция, а предельные значения нормальной производной причем считается, что по нормали. Если предполагать еще, что имеет правильную нормальную производную, то мы можем применить формулу (93) к и получим

таким образом, это равенство является необходимым условием разрешимости внутренней задачи Неймана при наличии правильной нормальной производной. Заметим, что если некоторая функция дает решение внутренней задачи Неймана, то функция , где С — произвольная постоянная, также дает решение задачи при том же предельном условии Теорема единственности решения внутренней задачи Неймана состоит в утверждении, что этим и исчерпываются все решения задачи, т. е. если два решения задачи Неймана при одном и том же предельном условии то разность должна быть постоянной в D.

Легко доказать это утверждение, если предположить, что имеют правильные нормальные производные. При этом разность также имеет правильную нормальную производную, предельные значения которой равны нулю, тем самым непрерывна вплоть до S, так что, применяя к формулу (92), получим:

откуда и следует, что постоянна внутри . В [107] мы приведем доказательство единственности решения задачи Неймана без предположения о существовании правильной нормальной производной.

Отметим, что при постановке внутренних задач Дирихле и Неймана можно считать, что граница S состоит и из нескольких замкнутых поверхностей.

Третья основная предельная задача, связанная с уравнением Лапласа, состоит в нахождении внутри S гармонической функции, когда на границе области задана линейная комбинация нормальной производной и самой функции, т. е. предельное условие имеет вид

где заданные на S непрерывные функции, причем мы считаем, что Докажем теорему единственности, считая, что имеет правильную нормальную производную. Если бы существовали два решения задачи, то их разность удовлетворяла бы однородному предельному условию:

Применяя к формулу (92) и пользуясь (104), получим

Интеграл, стоящий справа, не может быть положительным, а интеграл, стоящий слева, не может быть отрицательным, т. е. оба они должны равняться нулю, откуда непосредственно следует, что .

Все предыдущие результаты имеют место и для случая плоскости.

До сих пор мы рассматривали так называемые внутренние задачи, при которых требуется определить гармоническую функцию в ограниченной области при некотором предельном условии. Мы переходим теперь к внешним задачам, когда ищется гармоническая функция в бесконечной части пространства, находящейся вне некоторой замкнутой поверхности (или вне нескольких замкнутых поверхностей). Аналогично ставится задача для плоскости. Существенную роль играет при этом то требование, которое мы налагаем на искомую функцию в окрестности бесконечно далекой точки. Этот вопрос будет решаться различно для плоскости и для пространства. Мы начнем с вьполнения упомянутого требования на бесконечности и сначало разберем случай плоскости.