58. Случай волнового уравнения.

Легко увидеть (см. (191)), что для решений однородного волнового уравнения

энергетическое неравенство имеет вид

где . Оно выведено в предположении, что и имеет непрерывные производные до второго порядка. Если же и имеет в рассматриваемых областях непрерывные производные до порядка то любая его производная также удовлетворяет уравнению (212), и поэтому для нее справедлива оценка (213), т. е.

Формула Пуассона [II; 184] дает решение задачи Коши для уравнения (212), причем гладкость ее решения растет с ростом гладкости начальных данных

Неравенства (214) позволяют исследовать вопрос о разрешимости задачи Коши и при негладких начальных данных. Действительно, пусть функция квадратично суммируема в шаре и имеет в нем обобщенные производные до порядка , квадратично суммируемые по . Говоря иначе, пусть Относительно функции предположим, что она принадлежит множеству . Так же, как и в случаях множество может быть рассмотрено, как гильбертово пространство, скалярное

произведение в котором определено равенством

где символ означает производную порядка I любого вида, а знак суммирование всех таких производных. Доказывается, что есть полное гильбертово пространство.

Обозначим через усреднения определенные в . Известно, что они суть бесконечно дифференцируемые в функции, сходящиеся к при в нормах пространств где любое число, меньшее R. Аналогично будут сходиться к в нормах .

Пусть есть решение задачи Коши для уравнения (212), отвечающее начальным данным . Из формулы Пуассона видно, что имеет непрерывные производные всех порядков. Устремим h к нулю и исследуем этот предельный переход в конусе Конус удовлетворяет всем требованиям, которые были наложены на область в пункте [56], и потому для справедливы неравенства (214), в которых роль играют сечения плоскостью Эти же неравенства имеют место и для функций (ибо они также являются решениями уравнения (212)), т. е.

При стремящихся к нулю, правая часть (215) пойдет к нулю при следовательно, это же имеет место и на любом сечении . Сами функции также стремятся к нулю в нормах так как для любой гладкой функции v

и потому (в силу неравенства Коши — Буняковского)

и

Интегрируя (215) и в пределах от 0 до убеждаемся, что и все их производные до порядка сходятся к нулю в норме . В силу полноты пространства и свойств обобщенных производных, описанных в существует элемент и пространства- к которому сходятся функции в норме Более того, из (215) и (216) видно, что имеет место сходимость в нормах и сходимость в нормах при любом так что функция будет принадлежать при любом и для и будут выполняться неравенства (214) и (216). При и будет удовлетворять уравнению (212) при почти всех из Таким образом, мы сумели найти решение задачи Коши для уравнения (212) в области предполагая о начальных данных и что они суть элементы , соответственно. Более того, мы показали, что гладкость этого решения не ухудшается во времени, если эту гладкость характеризовать принадлежностью к пространствам . Если и мало меняются в нормах пространств соответственно, то соответствующее им решение и и его производная мало меняются в нормах . Точнее, если и, суть решения уравнения (212), отвечающие начальным данным то для их разности справедливы неравенства (214) и (216), которые и характеризуют непрерывную зависимость решений задачи Коши от начальных данных в соответствующих интегральных нормах. Решение задачи Коши, найденное нами выше, единственно в классе функций, принадлежащих если Действительно, для функций этого класса справедливы рассуждения, приведенные в [56], если все интегралы понимать в смысле Лебега и имеющиеся там неравенства рассматривать не для всех, а для почти всех значений t из .

Обратим внимание на особую роль пространств для гиперболических уравнений С их помощью удалось уловить весьма важное свойство решений уравнений (212): неухудшаемость их гладкости при увеличении времени. Более того, так как изменение направления оси времени (т. е. замена t на ) не

меняет уравнения (212), то задача Коши для них решается таким же образом и в направлении убывания и поэтому гладкость решений не ухудшается и при уменьшении времени. Тем самым, мы установили такой факт: решения однородного волнового уравнения при любом t сохраняют со временем ту гладкость, которой они обладали в начальный момент времени. Это верно, если гладкость решений и характеризовать принадлежностью пары пространствам . В терминах же других пространств это свойство не улавливается. Например, оно не имеет место, если гладкость решений характеризовать непрерывностью тех или иных их производных (Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. II. — М.: Гостехиздат, 1951, гл VI, § 10, п. 4).

Мы показали, как используются неравенство (213) и его следствия (214) для решения и анализа задачи Коши применительно к уравнению (212). Так же подробно можно исследовать и случай неоднородного волнового уравнения. Более того, неравенство (201) и его следствия играют фундаментальную роль и при изучении задачи Коши для гиперболических уравнений общего вида (181). Мы проиллюстрируем это в следующей главе на примерах более сложных задач для уравнений (181) и покажем также, как из полученных там результатов вывести разрешимость задачи Коши для уравнений (181).