138. Асимптотическое выражение собственных значений.

Предварительно выясним некоторые свойства функции Принимая во внимание оценки для G и имеем

Интегрируя по всему пространству и вводя сферические координаты с центром Я, получим

Докажем теперь, что в любой замкнутой области лежащей внутри D, произведение равномерно стремится к равномерно в D. (326)

Учитывая те предельные значения, которые имеют функции на , мы получаем оценки

где — расстояние от границы до S. Мы имеем

Открываем скобки и разбиваем интеграл на четыре слагаемых:

откуда видно, что интеграл, стоящий слева, стремится равномерно к нулю при если Р принадлежит D. Далее имеем

и интеграл, стоящий справа, при любом положении Р в не превышает некоторой постоянной, откуда следует, что интеграл, стоящий слева, стремится равномерно к нулю. Совершенно аналогично рассматривается интеграл

Осталось рассмотреть интеграл

и доказать, что он равномерно стремится к если Р принадлежит D. Пусть сферы с центром Р и радиусами, равными и диаметру d области . Мы имеем

Интегралы выражаем в сферических координатах с центром Р и вводим новую переменную . Приходим таким образом к неравенству.

При крайние члены стремятся к и они не зависят от положения точки Р в D. Отсюда и следует непосредственно, что интеграл (327) стремится к равномерно в D, и тем самым утверждение (326) доказано. Принимая во внимание (325), мы можем взять D настолько близким к что интеграл от по будет меньше , где заданное

положительное число. С другой стороны, в силу (326), при достаточно больших К

где — объем D, откуда

где v — объем Отсюда следует:

и, в силу (322),

Использование этой формулы для вывода асимптотического выражения для основано на следующей теореме;

Теорема. Если ряд

где сходится при и

ТО

причем в последней сумме суммирование распространяется на те значения k, для которых

Применим эту теорему к ряду (328). В этом случае и Н — и мы получаем

или, что то же,

где при . Если взять , то получим

Обозначим

а левую часть (332) обозначим через . Это неубывающая функция А:

Выведем асимптотическое выражение при больших . Мы нмеем

Неубывающая функция

интегрируема по любому конечному промежутку, и, тем самым, и второе слагаемое правой части также интегрируемая функция, В силу (332) и (334) мы имеем

Нетрудно показать, что

Пусть — заданное положительное число. Фиксируем настолько большим, чтобы иметь при . Мы имеем

откуда следует:

При достаточно больших квадратная скобка по абсолютной величине , т. е.

откуда и следует (338). Таким образом, мы получаем, в силу (337),

где при . Подставляя это в (335) и пользуясь (333), получим

где . Отсюда

и окончательно

В случае плоской области результат имеет вид

где — площадь области.

Таким образом, все сводится к доказательству теоремы от носительно ряда (329).

При помощи указанного выше метода Карлеманом (Т. Carleman) в его работе «Uber die asymptoJtis$he Verteilung der Eigenwerte partieller Differential» gleichungen» (Ber. Sachsisch. Akad. Wiss. Leipzig, Math. Phys. Klasse, 1936, 88) была получена асимптотика собственных значений для уравнений общего вида.

Приведем полученный им результат. Пусть имеется выражение

где и — заданные вещественные непрерывные функции в замкнутой области D пространства . Пусть, далее, квадратичная форма

переменных определенно положительна, если точка находится в замкнутой области D. Рассмотрим предельную задачу:

при условии (302). Она имеет бесчисленное множество собственных значений, которые могут быть и комлексными. Во всякой ограниченной части плоскости находится лишь конечное число собственных значений, и если рясположить их в порядке неубывающего модуля, то имеет место следующая формула!

где — определитель, составленный из элементов . Отметим, что, в силу положительности квадратичной формы, и правая часть последней формулы — вещественна.

В книге Куранта и Гильберта «Методы математичекской физики», т. I, полученные выше асимптотические выражения собственных значений при большом для уравнения установлены при помощи экстремальных свойств собственных значений. Этот метод нами изложен в [90] для случая одного независимого переменного. В применении к уравнению проведение этого метода становится более сложным.