106. Преобразование Кельвина.

При рассмотрении гармонических функций в трехмерном пространстве мы уже не имеем больше того важного вспомогательного аппарата, каким являлась в случае плоскости теория функций комплексного переменного и, в частности, конформное преобразование, переводящее всякую гармоническую функцию тоже в гармоническую функцию. В случае трехмерного пространства имеется все же некоторое точечное преобразование совершенно специального вида, которое обладает тем же свойством, а именно: если —

гармоническая функция в некоторой области D, то функция

будет гармонической в области D, которая получается из D при помощи преобразования:

Заметим прежде всего, что что преобразование, обратное (113), имеет тот же вид:

Если ввести сферические координаты, то формула (112) преобразуется к виду:

Принимая во внимание, что удовлетворяет уравнению Лапласа

и что имеет место очевидное тождество

мы без труда убедимся в том, что и функция удовлетворяет уравнению Лапласа. Преобразование (113) представляет собою преобразование симметрии относительно сферы с центром в начале и радиусом единица . Мы могли бы, конечно, брать центр сферы в любой точке и считать ее радиус R тоже любым. При этом формулы (112) и (113), запишутся в виде

Преобразование (114) называется преобразованием Кельвина. Прежде чем выяснить понятие регулярности гармонической функции в бесконечно далекой точке в трехмерном пространстве, докажем свойство гармонических функций, которое в плоском

случае мы доказали в конце предыдущего параграфа. Пусть гармоническая функция в некоторой сфере с центром в начале координат, кроме, может быть, самого начала, и ограничена по абсолютной величине в этой сфере. Покажем, что существует предел при стремлении М к началу, а, если принять этот предел за значение в начале, то будет гармонической и в начале.

Пользуясь интегралом, указанным нами в [II; 207], мы можем построить функцию гармоническую в сфере без всякого исключения и принимающую на поверхности этой сферы те же самые предельные значения, что и функция

Применим к разности преобразование Кельвина по отношению к сфере . Преобразованная функция окажется гармонической вне сферы равной нулю на поверхности этой сферы и стремящейся к нулю при стремлении точки М к бесконечности. Последнее обстоятельство непосредственно вытекает из вида формул (114) и того факта, что по условию, ограничена в окрестности начала координат. Принимая во внимание, что экстремумы гармонической функции должны находиться на границе области, мы можем утверждать, что функция должна быть равна тождественно нулю, т. е. функция совпадает с функцией а потому эта последняя функция будет гармонической и в начале координат.

Пусть некоторая функция, гармоническая в окрестности точки О, которую мы примем за начало, и в самой этой точке. Совершая преобразование Кельвина с центром в начале и с радиусом хотя бы равным единице, мы получим преобразованную функцию которая будет гармонической функцией в окрестности бесконечно далекой точки. Эта функция будет стремиться к нулю при и, больше того, из формулы (112) непосредственно вытекает, что произведение остается ограниченным при и то же самое можно утверждать относительно произведении . Последнее непосредственно вытекает из того факта, что производные функции в окрестности начала ограничены. Наоборот, если мы имеем функцию гармоническую в окрестности бесконечно далекой точки и такую, что произведение остается ограниченным при то, совершая преобразование Кельвина, мы убедимся в том, что преобразованная функция будет гармонической и ограниченной в окрестности начала координат, а тем самым будет гармонической и в начале координат. Но тогда из приведенных выше рассуждений непосредственно следует, что произведения

остаются ограниченными при . Положим, наконец, что про функцию гармоническую в окрестности бесконечно дале кой точки, известно только, что при т. е. при любом заданном положительном существует такое положительное число А, что , если только . Построим сферу с центром в начале и настолько, большим радиусом, чтобы была гармонической вне и на самой поверхности этой сферы. Мы можем построить функцию гармоническую внутри сферы и имеющую на поверхности этой сферы те же самые предельные значения, что и .

Пусть - результат преобразования Кельвина над функцией по отношению к сфере . Разность гармоническая функция вне равная нулю на и стремящаяся к нулю при . Такая функция, как мы видели выше, должна тождественно обращаться в нуль. Следовательно, наша первоначальная функция должна совпадать с функцией которая получилась в результате преобразования Кельвина из функции гармонической внутри, сферы Для такой функции, как мы видели выше, произведения

должны оставаться ограниченными при Мы видим, таким образом, что из того, что при вытекает, что для произведения (115) должны оставаться ограниченными при

Назовем функцию гармоническую в окрестности бесконечно далекой точки, регулярной на бесконечности, если при Если известно только, что стремится к конечному пределу , то можно сказать, что такая функция равна сумме постоянного слагаемого b и гармонической функции, регулярной в бесконечно далекой точке. Если для гармонических вне S функций произведения (115) остаются ограниченными, и эти функции имеют на S правильные нормальные производные извне, то, как мы видели [102], для таких функций имеют место формулы (94), (95), в которых интегрирование распространяется на часть пространства, находящуюся вне S.

Внешняя задача Дирихле состоит в разыскании функции гармонической вне S, регулярной в бесконечно далекой точке, непрерывной вплоть до S и принимающей на поверхности S наперед заданные значения Принимая некоторую точку находящуюся внутри S, за начало и совершая преобразование Кельвина, мы сведем внешнюю задачу Дирихле к внутренней задаче для преобразованной области. При помощи обычных рассуждений доказывается единственность

решения внешней задачи Дирихле. Существование решения задачи сводится к существованию решенйя внутренней задачи Дирихле, а это последнее может быть доказано при общих предположениях о поверхности при условии непрерывности граничных данных.

Отметим разницу при постановке внешней задачи Дирихле в случае плоскости и пространства. В плоском случае мы задавали предельные значения на границе и требовали только, чтобы функция стремилась к конечному пределу при . В случае трехмерного пространства мы задаем сам этот предел, а именно — считаем его равным нулю. Мы могли бы считать, что при наша функция стремится к некоторому заданному числу b. Рассматривая разность мы пришли бы к прежней постановке задачи. Нетрудно видеть, что в случае трехмерного пространства для определенности внешней задачи Дирцхле недостаточно требовать, чтобы имела конечный предел при Действительно, положим, что некоторое количество электричества находится в равновесии на проводящей поверхности S. Такой электростатический потенциал простого слоя будет иметь некоторое постоянное значение с на поверхности S, причем нетрудно показать, что будет давать гармоническую функцию вне S и будет стремиться к нулю при . Сама постоянная с будет также гармонической функцией вне S и будет иметь на S те же предельные значения, но она уже не будет регулярной, согласно нашему определению, в бесконечно далекой точке. Для случая плоскости это рассуждение уже неприменимо, ибо электростатический потенциал простого слоя на линии обращается в бесконечность в бесконечно далекой точке. Отметим еще, что иногда называют функцию гармонической вне поверхности S только в том случае, если она регулярна в бесконечно далекой точке, т. е. некоторые авторы в определение функции, гармонической вне поверхности S, включают и регулярность в бесконечно далекой точке.

Внешняя задача Неймана состоит в нахождении функции, гармонической вне S, регулярной по бесконечности, при заданных предельных значениях ее нормальной производной на S. В данном случае предельные значения нормальной производной уже не должны удовлетворять условию (110). Доказательство этого условия, проведенное нами в случае плоскости, уже не годится в случае пространства, ибо площадь поверхности сферы радиуса R имеет порядок и величина интеграла от по сфере достаточно большого радиуса не должна стремиться к нулю при . Если предположить, что решение внешней задачи Неймана имеет правильную нормальную производную, то единственность решения задачи непосредственно

следует из формулы (94). Аналогичное рассуждение мы проводили для внутренней задачи Неймана.

Заметим в заключение настоящего параграфа, что указанные выше свойства гармонической функции в окрестности бесконечно далекой точки могут быть непосредственно получены из разложения этой функции в окрестности бесконечно далекой точки по сферическим функциям.