ГЛАВА I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1. Линейные уравнения с двумя независимыми переменными.

Мы неоднократно встречались с различными дифференциальными уравнениями, содержащими частные производные искомой функции. Это были всегда уравнения совершенно специального вида, возникшие из конкретных задач математической физики. Целью настоящей главы является изложение основ общей теории уравнений с частными производными, причем мы начинаем изложение этой теории с рассмотрения уравнений первого порядка.

Одно уравнение первого порядка с одной искомой функцией и независимых переменных имеет вид

где независимые переменные и частные производные искомой функции по этим независимым переменным. Мы будем изучать сначала уравнения, линейные относительно частных производных т. е. уравнения вида

причем коэффициенты и свободный член, с суть заданные функции независимых переменных и искомой функции и. Поскольку сама функция и может входить любым образом в коэффициенты и свободный член, такие уравнения называют иногда не линейными, а квазилинейными уравнениями. В настоящем параграфе мы будем рассматривать уравнение вида (1) в случае двух независимых переменных. В этом частном случае независимые переменные обозначаются обычно буквами а частные производные мы будем, как всегда, обозначать следующим образом: и Таким образом, предметом исследования настоящего параграфа будут уравнения вида

Напомним, что мы уже занимались линейными уравнениями с частными производными раньше [II; 22] и видели, что задача интегрирования уравнения вида (2) равносильна задаче интегрирования некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы дополним полученные раньше результаты некоторыми новыми фактами, которые окажутся нам полезными в дальнейшем при исследовании более сложных задач.

Заданные функции определяют некоторое поле направлений в пространстве , а именно, в каждой фиксированной точке этого пространства мы имеем направление, у которого направляющие косинусы пропорциональны а, b и с. Это поле направлений определяет семейство линий, таких, что любая линия семейства имеет в каждой своей точке касательную, совпадающую с направлением поля в этой точке. Это семейство линий получается в результате интегрирования системы обыкновенных уравнений

или, если мы обозначим через общую величину написанных трех отношений, системы

Величины пропорциональны направляющим косинусам нормали к искомой поверхности и уравнение (2) выражает условие перпендикулярности нормали к искомой поверхности с направлением поля, т. е. уравнение (2) сводится к требованию, чтобы в каждой точке искомой поверхности направление, определяемое упомянутым выше полем направлений, находилось в касательной плоскости к поверхности. Назовем линии, определяемые системой (4), характеристическими линиями или характеристиками уравнения (2). Если некоторая поверхность представляет собою геометрическое место характеристик уравнения (2), т. е. образована линиями которые удовлетворяют системе (4), то в каждой точке этой поверхности касательная к линии проходящей через эту точку, лежит в касательной плоскости к поверхности, и, следовательно, эта поверхность удовлетворяет уравнению (2), т. е. является интегральной поверхностью этого уравнения. Таким образом, если поверхность и образована характеристиками уравнения (2), то эта поверхность есть интегральная поверхность этого уравнения.

Мы предполагаем, что поверхность и имеет в каждой точке касательную плоскость и что направление нормали к поверхности меняется непрерывным образом при перемещении

вдоль поверхности. Это сводится к существованию и непре рывности производных первого порядка от

В дальнейшем, говоря об интегральной поверхности, мы будем предполагать, что эта поверхность обладает указанными выше свойствами. Вообще такие поверхности мы для краткости будем называть гладкими.

Выше мы показали, что гладкая поверхность, имеющая уравнение и и образованная характеристиками, есть интегральная поверхность. Можно показать, что и, наоборот, если некоторая гладкая поверхность удовлетворяет уравнению (2), т. е. есть интегральная поверхность, то ее можно покрыть характеристиками.

Действительно, если некоторая поверхность S удовлетворяет уравнению (2), то в каждой ее очке направление лежит в касательной плоскости к 5, и мы имеем, таким образом, на S некоторое поле направлений. Интегрируя соответствующее этому полю направлений обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, мы и найдем линии лежащие на поверхности S и удовлетворяющие системе (4). Этим уравнением первого порядка может служить, например, уравнение

в котором и заменено его выражением из уравнения поверхности S. Положим, что к полученному уравнению применима теорема существования и единственности, причем его интегральные линии покрывают без пересечений некоторую область D, в которой определена функция Линии V суть те линии на S, проекциями которых на плоскость являются линии

При исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка мы видели [II; 50, 51], что искомые функции вполне определяются заданием начальных значений этих функций при заданном значении независимого переменного. Из этих начальных данных определяются произвольные постоянные, входящие в общий интеграл, если этот последний нам удалось найти. Но определение решения по начальным данным может быть произведено и без знания общего интеграла, хотя бы при помощи метода последовательных приближений, которым мы пользовались при доказательстве теоремы существования и единственности [II; 51]. Общее решение уравнения (2) содержит уже не произвольные постоянные, а произвольные функции [II; 23], и задача определения решения по начальному данному формулируется в этом случае следующим образом: определить ту интегральную поверхность уравнения (2), которая проходит через заданную кривую I в пространстве

Если через мы обозначим проекцию линии l на плоскость то формулированная задача приводится к задаче разыскания такого решения уравнения (2), которое принимает заданные значения в точках линии Наметим предварительно решение поставленной задачи [II; 23]. Пусть некоторая точка линии l. Примем ее координаты за начальные данные функций, определяемых системой (4). Согласно теореме существования и единственности, получим вполне определенную характеристику, выходящую из этой точки Проделывая это для каждой точки линии l, мы будем иметь семейство характе ристик; положим, что они образуют некоторую поверхность S с уравнением и Она проходит через линию l и, согласно сказанному выше, является интегральной поверхностью уравнения (2).

Строгое проведение доказательства существования и единственности решения задачи требует некоторых предположений о правых частях уравнений (4) и некоторых существенных оговорок относительно линии l. Если, например, заданная линия l сама есть характеристика, то указанный выше прием проведения характеристик из точек линии l приведет не к поверхности, а к самой линии . В этом случае решений может быть бесчисленное множество [II; 24]. Действительно, проведем через некоторую точку линии l линию которая уже не является характеристикой. Проведя из точек этой линии характеристики (среди них будет участвовать и данная линия ), мы получим, при соблюдении некоторых условий, интегральную поверхность, проходящую через заданную линию Принимая во внимание произвольность в выборе мы видим, что задача имеет бесчисленное множество решений, если заданная линия I есть характеристика. Может оказаться, что задача вовсе не имеет решения. Это будет в том случае, когда характеристики, выходящие из точек линии не образуют в окрестности этой линии поверхность, имеющую явное уравнение где однозначна и непрерывна и имеет непрерывные производные первого порядка. Так будет, например, если упомянутые характеристики образуют цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси и. В следующем параграфе мы перейдем к выяснению условий, при которых поставленная задача имеет одно определенное решение.