169 Исследование решения.

Проведем исследование полученного нами решения

Будем считать для определенности, что функция отлична от нуля лишь на некотором конечном промежутке , имеет непрерывную производную до второго порядка и

При этом, интегрируя два раза по частям, получим

Мы будем предполагать, что функция имеет вид

где - рациональные дроби, у которых степень знаменателя по крайней мере на две единицы выше степени числителя. Легко проверить, что функция будет обладать таким свойством, например, в следующих двух случаях!

Как видно из формулы (215), функция есть целая функция.

Функция имеет чисто мнимые корни, которые мы обозначим , где корни уравнения .

Воспользуемся формулой

и следующими выражениями функций Ханкеля:

где полиномы относительно без свободного члена Подетавляя мы легко убедимся в том что во всех

точках линии интегрирования, при достаточно больших а, модуль отношения

не превышает некоторого числа, меньшего единицы. Учитывая это, мы можем написать:

Подставляя в формулу (214) и интегрируя ряд почленно, получим

Покажем, что фактически в правой части мы имеем лишь конечное число слагаемых, и это число растет с возрастанием t. Рассмотрим в качестве примера слагаемые первой суммы. Пользуясь формулами (217), мы можем написать интегралы, входящие в эту сумму, в виде

Положим, что число настолько велико, что

Проведем справа от прямой интегрирования полуокружность с центром а и достаточно большим радиусом R. Учитывая формулу (216) для и указанные выше свойства мы можем утверждать, что при условии (220) интеграл по этой полуокружности от подынтегральной функции интеграла (219) стремится к нулю при беспредельном возрастании

С другой стороны, интеграл по замкнутому контуру, образованному этой полуокружностью отрезком прямой интегрирования интеграла (219), равен нулю, так как внутри этого контура нет особых точек

подынтегральной функции. Отсюда следует, что при выполнении условия (220) интеграл (219) равен нулю. Совершенно так же слагаемые второй суммы правой части формулы (218) равны нулю, если выполнено условие

Оставшиеся слагаемые описывают сферические волны, которые отразились то или иное число раз от сферы . Пользуясь первой из формул (204), не трудно показать, что подынтегральная функция в интегралах, стоящих в правой части формулы (218), имеет конечное число особых точек на конечном расстоянии, которые определяются, как корни уравнения:

и что величина интеграла есть сумма вычетов в этих полюсах, т. е. упомянутые интегралы выражаются через элементарные функции.

Указанное выше использование формулы (214) приводит, таким образом, к «методу Даламбера» для решения задачи о колебании сферы при предельном условии (193).

Укажем теперь другое преобразование формулы (214), которое приводит к «методу Фурье», или, точнее говоря, к разложению решения задачи в ряд по собственным колебаниям сферы. Подставим в формулу (214) выражение (216) для .

При подстановке слагаемого подынтегральная функция будет содержать множитель и совершенно так же, как и выше, можно показать, что соответствующий интеграл обратится в нуль при т. е. мы имеем

Можно показать, что величина этого интеграла равна сумме вычетов его подынтегральной функции, и мы получаем, считая, что полюсы не совпадают с корнями (отсутствие резонанса):

где соответствует сумме вычетов в полюсах и введено обозначение

Можно показать, что при сделанных относительно предположениях написанный ряд сходится равномерно относительно . Он представляет собою наложение собственных колебаний системы. Отсюда следует, что слагаемое которое может быть представлено в конечном виде, удовлетворяет уравнению (183) и предельному условию (193). Если имеется совпадение полюса с корнем то в правой части (223) появится резонансный член, содержащий вне знака тригонометрических функций.

Если то мы получим только ряд по собственным колебаниям, поскольку есть целая функция, и при мы можем применять лемму Жордана 60] для некоторой системы полуокружностей с центром для подынтегральной функции, в которой стоит вся функция . При мы

не имеем должных оценок подынтегральной функции на вышеупомянутых полуокружностях. Отсутствие дополнительного слагаемого, кроме ряда по собственным колебаниям, связано с выключением внешней силы, входящей в предельное условие.