32. Нормальные формы при двух независимых переменных.

В [31] мы показали, что в случае постоянных коэффициентов мы можем совокупность членов уравнения, зависящих от производных второго порядка, привести при помощи линейного преобразования к некоторой нормальной форме. В случае переменных коэффициентов, зависящих от мы не можем, конечно, надеяться совершить такое преобразование к нормальной форме пои помощи линейного преобразования переменных и должны пользоваться более общими преобразованиями, но даже и при этом мы сможем решить задачу лишь для случаях двух независимых переменных. Итак, рассмотрим уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными, линейное относительно производных второго порядка

Введем вместо новые независимые переменные

Производные по старым переменным выразятся через производные по новым переменным по формулам:

Подставляя в уравнение (7), мы будем иметь преобразованное уравнение

где

Непосредственной подстановкой проверяется следующее тождество:

Нетрудно видеть, что знак разности определяет тип уравнения (7). Если то уравнение принадлежит гиперболическому типу, при эллиптическому типу и при параболическому типу. В силу (10), преобразование переменных не меняет знака упомянутой разности, т. е. не меняет, естественно, типа уравнения.

В случае уравнений гиперболического типа с постоянными коэффициентами, простейшая форма при двух независимых переменных имеет вид

Вводя вместо новые независимые переменные

мы придем для гиперболического типа к простейшей форме вида

Мы видим, таким образом, что для гиперболического типа, в случае двух независимых переменных, мы можем брать простейшую форму вида (11) или (13). Эти уравнения легко могут быть преобразованы одно в другое.

Вернемся к уравнению (7) и положим, что в некоторой области D плоскости уравнение (7) принадлежит к гиперболическому типу. Это значит, что при значениях лежащих в D, квадратное уравнение

имеет различные, вещественные корни. При этом мы считаем, что или , или . Если бы то уравнение (7) уже имело бы простейшую форму (13). Не нарушая общности,

мы можем, конечно, считать Рассмотрим дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка:

Обозначая через корни уравнения (14), мы видим, что уравнение (15) распадается на два уравнения

и

Если коэффициенты и с, а тем самым и функции достаточно гладкие, то у написанных уравнений имеются решения с непрерывными производными до второго порядка в некоторой части области Решение уравнения возьмем за а уравнения (162) за в преобразовании (8). Можно выбрать эти решения так, чтобы определитель был отличным от нуля в упомянутой части D. Отметим, что мы имеем

откуда

Из написанных формул следует, что если определитель в некоторой точке обращается в нуль, то в этой точке равны нулю обе частные производные первого порядка от или . Таким образом, надо строить такие решения уравнений (161) и (162), у которых обе частные производные первого порядка одновременно не равны нулю.

Функции удовлетворяют уравнению (15), и, в силу (9), мы имеем и из формулы (10) вытекает так что уравнение (7) приводится к виду (13).

Как мы видели в [2], решение уравнений (161) и (162) имеет локальный характер, т. е. мы можем построить решения этих уравнений, отличные от постоянных лишь в некоторой области, которая будет, вообще говоря, лишь частью области, где непрерывно дифференцируемы, и приведение уравнения (7) к нормальному виду будет иметь место лишь в упомянутой области. То же замечание о локальности приведения уравнений (7) к нормальной форме относится и к дальнейшему изложению.

Переходим к рассмотрению уравнения эллиптического типа. При этом и корни уравнения (14) — мнимые сопряженные. Мы можем по-прежнему писать уравнение (15). Напишем одно из уравнений (16)

где радикал берется, например, арифметическим. Считая коэффициенты а, b и с аналитическими функциями х и у и , мы сможем найти решение этого уравнения в виде аналитической функции причем получим

Совершим теперь замену переменных (8). Пользуясь написанной системой для , а также формулами (9), мы получим

и после деления на а уравнение принимает вид

Вместо формулы (17) будем иметь

Таким образом, задача решена и в случае эллиптического типа. Решение этой задачи в целом при некоторых условиях на коэффициенты а, 6, с, которые не считаются аналитическими, имеется в работе: Веку а И. Н. Задача приведения к каноническому виду дифференциальных форм эллиптического типа и обобщенная система Коши — Римана. — ДАН СССР, 1955, 100, № 2; см. также его книгу: Обобщенные аналитические функции. — М: Физматгиз, 1959.

Остается рассмотреть уравнение параболического типа. В этом последнем случае уравнение (14) имеет равные корни, и уравнение (15) приводит только к одному уравнению, т. е. уравнения и (162) совпадают. За функцию возьмем решение этого уравнения, а вторую функцию возьмем какой-нибудь, но такой, чтобы функциональный определитель был отличным от нуля. В силу выбора мы будем иметь в преобразованном уравнении Кроме того, в силу того, что уравнение принадлежит параболическому типу, мы должны иметь и формула (10) покажет нам, что Таким образом, в результате преобразования, мы будем иметь . Функция с не может обратиться тождественно в нуль, так как в противном случае мы получили бы уравнение первого порядка, и обратное преобразование от к не могло бы нам дать уравнение второго порядка (7). Таким образом, в параболическом случае мы будем иметь следующую каноническую форму:

где ненаписанные члены не содержат производных второго порядка, но обязаны иметь член с производной первого порядка по .