150. О спектре симметричного оператора.

Рассмотрим симметричные дифференциальные операторы L вида (402), т. е. такие, для которых оператор L, сопряженный L по Лагранжу (его выражение дается равенством (480)), совпадает с L, Они имеют вид

Изучим для них спектральную задачу

в ограниченной области D, считая, что для коэффициентов L и области D выполнены условия теоремы 2 [148]. Из результатов, доказанных в [149], следует, что для неограниченного оператора L, заданного на плотном множестве пространства равенством (488), сопряженным оператором является он сам с той же областью определения . В этом случае говорят, что L является самосопряженным оператором, и записывают это в виде равенства . Соответствующая ему квадратичная форма имеет вид

Так как по условию , то при

где есть положительная постоянная из неравенства (423) [145]. Согласно результатам [148] для существует обратный оператор который является вполне непрерывным, самосопряженным оператором в пространстве Ввиду этого для него справедливы теоремы, доказанные в . А именно, его спектр (полный) состоит не более чем из счетного числа вещественных чисел, которые мы обозначим через Каждому соответствует конечное число линейно независимых решений уравнения

являющихся элементами . Так как обратим, то число не есть точка спектра . т. е. ни одно не совпадает с нулем), и потому число различных собственных значений неограничено. Из свойств оператора следует, что принадлежат и потому любое есть решение задачи

и, наоборот, любое решение задачи (492), принадлежащее , есть решение уравнения (491). В свою очередь, задача (492) есть не что иное, как задача (489) Из неравенства (490) следует, что все отрицательны

Действительно, для неравенство (490) дает оценку

Опять-таки в силу свойств, установленных в для вполне непрерывных симметрических операторов, собственные числа можно считать занумерованными в порядке их возрастания. Кроме того, каждое собственное значение удобно записывать в последовательности столько раз, какова его кратность, и каждому из них сопоставить одну нормированную в собственную функцию причем выбрать их так, чтобы они все были ортогональны друг другу. В соответствии со сказанным, мы будем считать, что

и соответствующие им собственные функции удовлетворяют условиям

Спектр оператора L при условии Дирихле состоит из чисел соответствует собственная функция решение задачи (489) при . Все функции как отмечалось выше, суть элементы . Ясно, что при

Займемся теперь теоремами разложения по системе собственных функций . Теорема утверждает, что система образует базис в , т. е. любая функция f из разлагается по ней в ряд Фурье

сходящийся к ней в норме , и

Покажем теперь, что если то ряд (495) сходится к ней в норме , т. е. ряд (495) допускает почленное дифференцирование по один и два раза и полученные при этом ряды (заметим, что они уже не ортогональны в сходятся в к соответствующим производным Для доказательства этого рассмотрим как гильбертово пространство со скалярным произведением, определенным равенством (432), и нормой

Введем в новое скалярное произведение

Соответствующая ему норма, которую мы обозначим через эквивалентна норме (см. об этом [147]). Действительно, неравенство

для любой и следует непосредственно из ограниченности . Обратное неравенство

есть не что иное, как неравенство (461). Итак, эквивалентность норм доказана. Функции принадлежат следовательно, ему принадлежат и конечные отрезки ряда (495). Кроме того, функции ортогональны друг другу в смысле нового скалярного произведения, ибо из (492) следует, что

Ввиду этого просто подсчитать величину

При этом мы использовали то, что . Числовой же ряд сходится и равен ибо

(см. (496)). Поэтому функции образуют последовательность Коши в пространстве , а так как оно полное, то существует элемент , к которому сходятся в норме . Но, с другой стороны, мы знаем, что сходится в следовательно, Итак, мы доказали, что для ряд (495) сходится в норме пространства (т. е. в любой из норм ), и потому

причем этот ряд сходится в норме и

Докажем еще такое предложение: если , то ряд (495) сходится к ней в норме , т. е. ряд (495) и ряды, полученные однократным почленным дифференцированием ряда по сходятся в норме соответственно. Для этого введем в гильбертово пространство новое скалярное произведение

Из (490) и ограниченности следует, что соответствующая ему норма эквивалентна исходной норме пространства . Собственные функции принадлежат и ортогональны по отношению к скалярному произведению ибо

Функции образуют, тем самым, ортонормированную систему функций в пространстве с новым скалярным произведением. Поэтому для любой из и системы справедливо неравенство Бесселя

С другой стороны,

и

Сопоставляя эти соотношения, видим, что функции образуют последовательность Коши в пространстве и потому существует элемент этого пространства, к которому сходится в любой из двух норм

Но так как сходится к в норме , то и

Подытожим доказанные в этом пункте факты в виде теоремы (см. в связи с нею замечание на с. 390):

Теорема 1. Пусть для симметричного оператора L, определенного равенством (488), и области D выполнены условия теоремы 2 из [148]. Тогда весь спектр задачи (489) (или, что то же, спектр оператора L в области D при условии Дирихле) состоит из счетного числа вещественных значений стремящихся при и меньших числа мажорирующего коэффициент Соответствующие им собственные функции (1 можно ортонормировать в . Они образуют базис в пространствах , так что ряд Фурье (495) по ним для любой функции f из сходится к f в норме для любой f из сходится к f в норме а для любой из сходится к f в норме Кроме того, имеют место равенства (496) для равенство для f из и равенства (497) и (498) для f из

Изложенное здесь доказательство сходимости рядов (495) в пространстве принадлежит О. А. Ладыженской. Более того, это было сделано ею для всех трех классических краевых условий, причем не только в пространстве но и во всех пространствах с целыми l (см. гл. II книги:

Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболических уравнений. - М.; Физматгиз, 1953).

Собственные функции и собственные значения оператора обладают рядом экстремальных свойств аналогичных тем, которые мы установили ранее для интегральных операторов с симметрическими ядрами, для вполне непрерывных симметрических операторов в для обыкновенных дифференциальных операторов типа Штурма — Лиувилля [88], для оператора Лапласа [129] при условии Дирихле. Так, например, из равенств (496) и (502), справедливых для любой функции из легко доказывается следующая теорема:

Теорема 2. Наименьшее значение квадратичного функционала

на множестве функций f из равно первому собственному значению, взятому с обратным знаком. Оно реализуется на первой собственной функции Второе собственное значение, взятое с обратным знаком, дает наименьшее значение на множестве функций f из подчиняющихся двум условиям: . Оно реализуется на собственных функциях, соответствующих (обозначим одно из решений этой задачи через ). Следующая собственная функция находится, как решение изопериметрической задачи на определение нижней грани на множестве функций f из подчиненных условиям: . Значение при этом оказывается равным будет равно если непростое собственное значение, т. е. если кратность больше единицы). Так подряд находятся все и соответствующие им .

Для доказательства этих предложений надо учесть, что . Ввиду этого для любой из

а для значение следовательно, для любой имеем

т. е., действительно, дает решение первой из указанных в теореме вариационных задач. В следующей вариационной задаче мы должны рассмотреть все f из удовлетворяющие условиям . Для них , а, с другой стороны, следовательно, . Аналогично доказываются и остальные утверждения теоремы.

Полезно отметить, что вариационные задачи, описанные в этой теореме, имеют решения и при значительно меньших предположениях о коэффициентах L и D. Например, достаточно потребовать, чтобы для L выполнялись условия, сформулированные в [144], a D была бы произвольной ограниченной областью. При этом мы получим те же числа , но относительно соответствующих им функций сможем утверждать лишь, что они суть элементы . В соответствии с определением, данным в является обобщенным решением из класса спектральной задачи (489) при . Если же L и D удовлетворяют требованиям теоремы 2 из [148], то каждое из этих окажется элементом и будет удовлетворять уравнениям (489) (см. теорему 2 [149]).