145. Первое основное (энергетическое) неравенство.
Предположим, что коэффициенты оператора L из (402) удовлетворяют условиям п. [144], а именно при любых вещественных 
где 
— какие-либо числа (не обязательно положительные). Введем сокращенные обозначения;
Будем считать параметр К и все функции вещественными, хотя проводимые ниже рассуждения легко обобщаются и на случай комплексных 
. Мы будем использовать неравенство
которое является обобщением неравенства Буняковского — Шварца [II; 161] (и доказывается так же, как последнее), и элементарное неравенство
справедливое для любых чисел а, b и любого 
. Оценим 
, определенное в (405), снизу, используя предположения (413) и неравенство (415), следующим образом;
Отсюда, в силу (416), вытекает
при любом 
. Пусть и есть обобщенное решение класса 
задачи (403), так что для него справедливо тождество (407). Полагая в 
, получим равенство
Из него, используя (417), неравенство Буняковского — Шварца и (416), извлекаем такое неравенство:
где 
— произвольное положительное число. Его и называют первым основным (или энергетическим) неравенством. Из (419) видно, что норма 
. решения и задачи (403) оценивается сверху через 
. Если же
то (419) дает возможность оцепить норму 
только через 
. Действительно, возьмем, например, 
таким, чтобы 
. Тогда элементарные подсчеты показывают, что 
и из (419) следует желаемая оценка:
или, короче,
Благодаря ей имеет место следующая теорема единственности: Теорема 1. Если коэффициенты L удовлетворяют условиям (413) и выполнено условие 
, то задача (403) имеет
не более одного об. решения класса 
(область D при этом может быть и неограниченной).
Действительно, для разности 
и двух возможных обобщенных решений задачи (403) справедливо тождество (407) с 
потому и неравенство (422) с 
из которого следует, что 
, т. е. 
Для ограниченных областей D можно ослабить условие (420). Чтобы сделать это, воспользуемся неравенством
(неравенство (32) из 
справедливым для любой функции 
и ограниченной области D. При 
из (419) следует
и потому, если
то, беря в 
получим
Отсюда же и из (419), взятого, например, с 
следует и оценка полной нормы и в 
а именно:
Условие (425) выполнено, например, для 
при всех 
. Условие же (420) для 
не выполняется. Если коэффициенты заданы в какой-либо области 
и для них справедливы предположения (413) в области 
то условие (425) выполняется для любого фиксированного X (в частности, для 
если область 
взять достаточно малого объема, ибо 
при 
. В связи с этим говорят, что в областях «достаточно малого объема» для задачи (403) справедлива теорема единственности.
Замечание. В 
мы доказали, что 
если стремится к нулю диаметр D. Более тонкие рассуждения показывают, что CD пропорциональна 
.
